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Freitag, 26. Mai 2017 13:18 
Die Möbius-Transformation
 
Geschrieben von Alexander am Dienstag, 21. Februar 2006

Die Möbius-Transformationen (auch gebrochen lineare Transformation genannt) bilden eine bestimmte Klasse von komplexen Funktionen. Genauer: Eine Möbius-Transformation ist eine rationale Funktion deren Zähler und Nennergrad maximal 1 ist. Ferner müssen die Koeffizienten dieser Funktion eine spezielle Voraussetzung erfüllen.

Man könnte fast meinen, dass diese Abbildung relativ langweilig erscheinen, doch bei genaueren Untersuchungen kann man feststellen, dass dies mitnichten so ist.
Im Gegenteil, durch diese Klasse von Funktionen kann man bspw. automorphe Funktionen definieren. Auch im Bereich der automorphen Formen spielen diese unscheinbaren Funktionen eine bedeutende Rolle.

In dem bereitgestellten PDF-Dokument werden insbesondere die algebraischen Zusammenhänge der Möbiustransformationen und der Menge der invertierbaren Matrizen GL(2,) (=general linear group) untersucht. Das Doppelverhältnis o.ä. behandeltn wir in diesem Dokument nicht.
Im Einzelnen werden untersucht:

  • Die Menge der Möbius-Transformationen bilden eine Gruppe.
    Inverse Möbius-Transformation, neutrales Element, Komposition bzw. Matrizenmultiplikation als Verknüpfung, Assoziativität
  • Stetigkeit gebrochen lineare Transformationen, erweiterte komplexe Ebene, Riemannsche Zahlenkugel, stetige Fortsetzung ins Unendliche
  • Möbius-Transformation dargestellt als Komposition von Elementartypen
  • Gruppenhomomorphismus, Kern, Normalteiler
  • Beispiele

Möbius-Transformation

Die Möbius-Transformation

Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.


gut * schreibt am 03.02.2009 21:37:
gut

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