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Freitag, 26. Mai 2017 13:18 
Analytische Fortsetzung und der Monodromiesatz
 
Geschrieben von Alexander am Montag, 28. August 2006

Die analytische Fortsetzung einer Funktion hat -lax formuliert- zur Aufgabe den Entwicklungsbereich einer Potenzreihe "auszudehnen". Motivation dieser Übung ist die Mehrdeutigkeit der so bedeutenden Funktionen, wie Log, allen Wurzelfunktionen oder Arccos, usw. einen Definitionsbereich zu konstruieren auf welchen diese eindeutig leben können. Den so genannten Riemannschen Flächen bzw. Gebieten.

Hierzu ist es zunächst notwendig, die Theorie der analytischen Fortsetzungen näher zu untersuchen und evtl. Grenzen dieser Methode aufzuzeigen.
Der Zusammenhang zur holomorphen Fortsetzung wird an Beispielen verdeutlicht und durch Skizzen visualisiert. Da der Identitätsatz von so großer Bedeutung für dieses Thema ist, wird dieser eingeführt, erläutert und bewiesen.

Sodann gehen wir daran die Idee der analytischen Fortsetzung auszudehnen und stoßen damit auf das so genannte Kreiskettenverfahren. Dieses wird erläutert und der Kreiskettensatz bewiesen.

Zum Abschluss führen wir noch den Begriff der Homotopie ein und verbinden diesen mit dem Kreiskettenverfahren. Es wird sich herausstellen, dass homotope Kurven, welche sich fortsetzen lassen und homotop sind, dieselbe Fortsetzung besitzen.

Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt:

  • Diskrete Menge und die Koinzidenzmenge, Identitätssatz mit Beweis, Fortsetzung reeller Funktionen ins Komplexe, Diskussion der Voraussetzungen des Identitätssatzes,
  • Folgerungen aus dem Identitätssatz: Jede holomorphe Fortsetzung ist eindeutig bestimmt, Charakterisierung (nicht-)konstanter Funktionen
  • Holomorphe Fortsetzung, analytische Fortsetzung, Beispiel
  • Das Kreiskettenverfahren, Heuristik, Beispiel, Konstruktionsprinzip, Binomialreihe, Funktionselement, direkte bzw. unmittelbare analytische Fortsetzung, unmittelbare Umformung, Beispiel Log, Kreiskette, analytische Fortsetzung längs einer (Kreis-)kette/Kurve
  • Analytischer Zweig des Logarithmus, Beweis, analytische Potenz einer Funktion
  • Homotopie, Beispiel, Homotopieklassen, Äquivalenzrelation, homotop, Fundamentalgruppe
  • Monodromiesatz mit Beweis

 


Analytische Fortsetzung, Monodromiesatz

Analytische Fortsetzung und der Monodromiesatz

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Klaus Kuzyk * schreibt am 25.10.2008 10:51:
Eine sehr gelungene und schöne Abhandlung der Analytischen Fortsetzung in der komplexen Ebene. Ebenso zu loben ist die Herausstellung des Monodromiesatzes als einem der wichtigsten Sätze der ebenen Funktionentheorie. Leider wird diese Thematik in einigen neueren Lehrbüchern der Funktionentheorie etwas stiefmütterlich oder gar nicht behandelt. Dies ist um so mehr zu bedauern, da diese Thematik bei der Konstruktion der Riemannschen Flächen der "mehrdeutigen" Funktionen eine zentrale Rolle spielt und entsprechende Kenntnisse aus der ebenen Theorie sehr zu begrüßen wären.

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