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Dienstag, 21. Februar 2017 10:42 
Stetigkeit in R
 
Geschrieben von Alexander am Freitag, 09. Februar 2007

Stetiges Verhalten einer Funktion f im Punkt a, lässt sich als ein kontrolliertes Verhalten der Funktion in der Nähe (bzw. innerhalb einer Umgebung) des Punktes a deuten. Die Funktionswerte f(x) weichen nur wenig vom Sollwert f(a) ab, wenn die Variable x nur genügend nahe bei a liegt. Um diese Aussage vollständig nachvollziehen zu können, sollte man den Satz der lokalen Trennung und die Definition genau studieren.

Die Stetigkeit wird in der Schule oftmals stiefmütterlich behandelt: "Eine Funktion ist stetig, wenn deren Graph ohne abzusetzen gezeichnet werden kann" - diese intuitive Vorstellung erweist sich in der Allgemeinheit jedoch als falsch und sollte abgelegt werden. Die meisten Beweise zur Stetigkeit fehlen in diesem Dokument, der Schwerpunkt liegt in der (korrekten) Veranschaulichung und zugehörigen Beispielen.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Definition der Stetigkeit mit Hilfe des Umgebungsbegriffes; Heqvisidefunktion;
  • Jede Funktion ist in den isolierten Punkten ihres Definitionsbereichs stetig; Epsilon-Delta-Kriterium; Folgenkriterium und Anschauung; Zusammenhänge;
  • Beispiele zu den Kriterien; Überblick an stetigen Funktion;
  • Häufungspunkte; Folgenkriterium II mit Grenzwert; Stetigkeit als lokale Eigenschaft;
  • Stetige Fortsetzung; Zusammenhang mit Häufungspunkten; Beispiele; Definition der stetigen Fortsetzbarkeit; Existenz der stetigen Fortsetzbarkeit und Grenzwert; Polstellen, Definitionslücken, Sprungstellen;
  • Stetigkeit aufgefasst als Approximierbarkeit durch konstante Funktionen; Differenzierbarkeit als Approximierbarkeit durch affine Funktionen; Taylorpolynome als Approximation durch Polynome;

Stetigkeit in R

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