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Mittwoch, 26. April 2017 00:16 
Auflösbare Gruppen, Normal- und Kompositionsreihen
 
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 23. Mai 2007

Wie fast alle klassischen Themen der Algebra, wurde auch die Auflösbarkeit von Gruppen dadurch getrieben, die Frage nach der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale zu beantworten.

Generationen von Mathematikern, darunter solche Berühmtheiten wie Galois, Jordan oder Abel, beschäftigten sich mit diesem Problem. Letztlich konnte die Galois-Theorie mit Hilfe der sog. Galois-Gruppen das Problem auf die Auflösbarkeit von Gruppen reduzieren, deren Theorie wir hier untersuchen werden. In diesem Zusammehang bietet es sich an, die Konstrukte Normalreihe und Kompositionsreihe näher zu untersuchen.



  • Repetitorium: Homomorphie-Satz; erster und zweiter Isomorphiesatz; Permutationsgruppen, Symmetrische Gruppe; Alternierende Gruppe; Kleinsche Vierergruppe; gerade; ungerade; Ordnungen; Kommutatorgruppen der Permutationsgruppen, Auflösbarkeit von Sn; Definition des direkten Produkts; Homomorphismen;
  • Normalreihen; Beispiele; Untergruppen abelscher Gruppen; Normalteiler von Gruppen; absteigende Gruppenkette von G; normale Kette; Faktorgruppen, Faktoren; zyklische bzw. abelsche Kette; Normalreihe von G nach N; äquivalente Normalreihen; Beispiele; Sätze;
  • Verfeinerungssatz von Schreier; Lemma von Zassenhausen; Definition Verfeinerung; Je zwei Normalreihen einer Gruppe besitzen äquivalente Verfeinerungen; Butterfly-Lemma; dritter Isomorphiesatz; Beweis; Beispiel zum Verfeinerungssatz;
  • Kompositionsreihen; nicht weiter verfeinert werden können, ohne Wiederholungen; maximaler Normalteiler; einfache Gruppe; M maximaler Normalteiler genau dann, wenn G/M einfach ist; Kompositionsreihe; Kompositionsfaktoren;
  • Satz von Jordan-Hölder;
  • Einfache Kommutatorgruppen; Kommutator von a und b; Produkt von Kommutatoren im Allgemeinen nicht wieder Kommutator; Erzeugendensymstem; kleinste Normalteiler; ablescher Faktorgruppe G/N; Höhere Kommutatorgruppen; i-te Kommutatorgruppe von G; Rechenregeln zu Kommutatorgruppen; Kommutatoren von Permutationsgruppen; symmetrische Gruppe Sn ist für n>4 nicht auflösbar;
  • Auflösbare Gruppen; auflösbar; Jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar;Jedes endliche direkte Produkt auflösbarer Gruppen ist auflösbar;Es sei N ein Normalteiler einer Gruppe G. Sind N und G/N auflösbar, so ist auch G auflösbar;Eine Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn sie eine abelsche Normalreihe besitzt;
  • Auflösbarkeit und Kompositionsreihen; Jede Verfeinerung einer abelschen Normalreihe ist abelsch;G ist genau dann auflösbar, wenn die Kompositionsfaktoren von G Primzahlordnung haben; Eine auflösbare Gruppe G besitzt genau dann eine Kompositionsreihe, wenn G endlich ist; Jede endliche p-Gruppe (p Primzahl) ist auflösbar; Alle Gruppen der Ordnung paqb mit Primzahlen p, q und a, b aus IN sind auflösbar; Satz von Burnside; Satz von Feit-Thompson;

Auflösbare Gruppen, Normal- und Kompositionsreihen

Auflösbare Gruppen, Normal- und Kompositionsreihen

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