Mathematik Informatik Philosophie Diverses Kontatkt FAQ
Benutzername:
Passwort:
 Home > News
Dienstag, 21. Februar 2017 10:42 
Einführung in die Theorie der Moduln
 
Geschrieben von Alexander am Donnerstag, 19. Juli 2007

Zu den wichtigsten algebraischen Konstrukten gehören, neben den Klassikern wie Gruppe, Ring, Körper und Vektorraum, auch und inbesondere die Moduln. Die Theorie der Moduln hat sich als Erweiterung der Ringtheorie aus der Darstellungstheorie von Gruppen, Ringen und Algebren entwickelt. In ihr finden die Methoden der Ringtheorie und der linearen Algebra Anwendung. An den vielen Beispielen werden wir sehen, dass der Begriff des Modul über einem Ring viele der algebraischen Strukturen verallgemeinert.

Der Begriff des Modul ist Grundlage der sog. Homologischen Algebra. Historisch steht der heutige Begriff am Ende einer langen Entwicklung, die damit begann, dass Gauß die Bezeichnung a ≡ b [mod m] –- gelesen: a kongruent b modulo m –- einführte für die Aussage, dass a − b durch m teilbar ist (a, b,m ganze Zahlen und m > 0). Als „Modul“ wurde zunächst die Zahl m, später die Menge aller ganzzhaligen Vielfachen von m, also die Teilmenge (bzw. das Ideal) bezeichnet.

Einige Ergebnisse der linearen Algebra können leicht modifiziert für bestimmte Moduln angewendet werden. Es ist sicher hilfreich diese analogen Kenntnisse zunächst in der linearen Algebra zu studieren. Ferner sollte man Elementares über Gruppen und Ringe wissen, d.h.Worte wie Normalteiler, Ideal oder Ähnliches sollten keine Fremdwörter sein. Dieses Dokument ist als ausführliche Einführung in die Theorie der Moduln zu verstehen. Dabei bezieht sich das ausführlich nur auf die bahandelten Punkte, nicht jedoch auf die Gesamtheit der Modultheorie. Zur Modul- bzw. Ringtheorie existieren ganze Werke, deshalb können wir innerhalb dieses Dokuments nur an der Oberfläche kratzen. Die vorkommenden Sätze, Lemmata und Beispiele habe ich so gewählt, dass wichtige weiterführende Themen, wie exakte Sequenzen, freie oder projektive Moduln, im Anschluss ohne Probleme studiert werden können.

Im Einzelnen werden behandelt:
  • Definition: (unitäre) R-Linksmodul und R-Rechtsmodul; R-Bimodul, innere und äußere Verknüpfung; strenge Notation; K-Modul ist ein K-Vektorraum; nicht jedes Modul ist ein Vektorraum;
  • Beispiele zu Moduln; abelsche Gruppe G ist Z-Modul, ausführliche Beweise; Ring R über sich selbst ist ein Modul; K ein Schiefkörper; triviale Moduln; abelsche Gruppe mit Endomorphismenring als Modul; lineare Abbiludng eines Vektorraums zusammen mit Polynomring K[X] als Modul;
  • Charakterisierung von Moduln; Modul M ist im wesentlichen dasselbe wie ein Ring-Homomorphismus von R in End(M); Beweisverfahren der homologischen Algebra; Erweiterung bzw. Fortsetzung eines Homomorphismus auf R[X]; Beispiele;
  • Untermoduln; Untergruppenkriterium; Beispiele; zyklischer Untermodul; trivialen Untermoduln; induzierte äußere Verknüpfung; Zusammenhang mit Homomorphismen;
  • Einfache, minimale und maximale Untermoduln; einfacher Modul; minimaler Untermodul; maximaler Untermodul; geordnete Menge; Beweisprinzip; Beispiele;
  • Zyklizität und Erzeugendensysteme von Moduln; zyklisches bzw. monogenes Modul; Indexmenge; Familie von Untermoduln; System von Untermoduln; Durchschnitt von Untermoduln wieder Modul; von einer Teilmenge erzeugter Modul; Erzeugendensystem; endlich erzeugt; kleinste Untermodul; Menge aller endlichen Linearkombinationen; Zusammenhang zwischen Summe und Vereinigung von Untermoduln; Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermoduln; Menge aller endlichen Linearkombinationen; größte Untermodul, dass alle Untermoduln enthält; Inklusion als Ordnungsrelation;
  • Faktor-Moduln von M nach U; Definition und Beispiele; Herleitung der Verknüpfungen; induzierte Verknüpfung; R-Faktormodul; Wohldefiniertheit;
  • Untermoduln mit Idealen konstruieren; M ein R-Modul, dann ist das Produkt aM mit a Ideal aus R selbst wieder ein Modul; M/aM ist Modul und mit maximalem Ideal a sogar ein Vektorraum über dem Körper R/a; zweiseitiges Ideal;
  • Annullator und Torsionselemente; Annulator eines Modulelements bzw. eines Untermoduls sind Links- bzw. Rechtsideale; Torsionselement; torsionsfrei; treue Moduln; Torsionsuntermodul bzw. Torsionsmodul; Tor(M) ist ein Untermodul von M; M/T or(M) ist torsionsfrei; R/Ann(x) isomorph zu M;
  • Modul-Homomorphismen; R-Modul-Homomorphismus (oder auch R-linear); Homomorphismengruppe Hom(M,N); Menge aller Modul-Homomorphismen; Beispiele: kanonische Projektion; Endomorphismen; Epimorphismen; Monomorphismen; Automorphismen; grundlegende Rechenregeln mit Morphismen; Kern des Homomorphismus und Bild des Homomorphismus sind Untermoduln; Modul-Homomorphismus ist injektiv genau dann, wenn Kern gleich {0}; Kokern und Kobild eines Homomorphismus; Homomorphiesatz; Erster und zweiter Isomorphiesatz; Produktzerlegung von Homomorphismen; verallgemeinerung des Homomorphiesatzes; zerlegbarer Endomorphismus und zerlegbarer Monomorphismus; Zusammenhänge zwischen Bild, Kern, Surjektivität, Injektivität und der direkten Summe;
  • Direkte Produkt und direkte Summe von Moduln; Summe der Untermoduln; innere und äußere direkte Summe; Definition und äquivalente Charakterisierungen; direktes Komplement; direkter Summand; direkt unzerlegbar; Zusammenhang zwischen direkter Summe und direktem Produkt; endliche/unedliche Indexmenge; Projektion und Injektion und Zusammenhang zum direkten Produkt bzw. der direkten Summe; endlich erzeugt und endlich koerzeugt; Charakterisierung maximaler Untermoduln;
  • Freie Moduln und Basen von Moduln; Moduln besitzen im Allgemeinen keine Basis; Beispiele;Linearkombination; freie bzw. linear unabhängige Mengen, Erzeugendensyteme; Basis; Kroneckerdelta (auch Kroneckersymbol); freies R-Modul; äquivalente Charakterisierungen; kommutative Ringe mit 1 und M frei, dann haben je zwei Basen dieselbe Mächtigkeit; maximales Ideal; Beweisprinzip; Zornsche Lemma und Auswahlaxiom; Verwendung; Jeder Vektorraum V über einem Schiefkörper K besitzt eine Basis; Ist M ein R-Modul mit kommutativen R und Einselement 1, dann existiert zu jedem Modulelement x genau ein Modul-Homomorphismus, so dass f(1)=x gilt; universelle Eigenschaft des direkten Produkts und daraus generierter Modul-Homomorphismus; Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und einem Modul-Homomorphismus; Beispiele.

Einführung in die Theorie der algebraischen Moduln

Alle Logos und Warenzeichen auf dieser Seite sind Eigentum der jeweiligen Besitzer und Lizenzhalter.
Im übrigen gilt Haftungsausschluss. Weitere Details finden Sie im Impressum.
Die Inhalte dieser Seite sind als RSS/RDF-Quelle verfügbar.
Die Artikel sind geistiges Eigentum des/der jeweiligen Autoren,
alles andere © 2004 - 2017 by mathematik-netz.de

Seitenerstellung in 0.078 Sekunden, mit 54 Datenbank-Abfragen