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Freitag, 26. Mai 2017 15:19 
Die Sylowsätze und Gruppenoperationen
 
Geschrieben von Alexander am Samstag, 25. Februar 2012

Zur genauen Beschreibung einer endlichen Gruppe gehören insbesondere Aussagen über ihre Untergruppen, vor allem wird man nach Existenz und Eigenschaften von Untergruppen vorgegebener Ordnung fragen. Existiert eine Untergruppe H einer Gruppe G, so ist nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von H ein Teiler der Gruppenordnung G.

Sei G eine Gruppe von Ordnung n und sei T die Menge der positiven Teiler von n, dann existiert im Allgemeinen nicht für jedes t aus T eine Untergruppe H von G. Schränkt man jedoch die Voraussetzungen ein, so kann man in der Tat die Existenz gewisser Untergruppen mit entsprechender Ordnung nachweisen. Dies ist die Hauptaussage des ersten Sylowsatzes. Der zweite Sylowsatz gibt darüber Auskunft welche Struktur diese speziellen Untergruppen einnehmen (sie liegen alle auf einer Bahn bzw. sind Teilmenge von p-Sylow-Gruppen). Schließlich gibt der letzte und damit dritte Sylow-Satz Auskunft über die Anzahl von p-Sylow-Gruppen.

Um diese für die Gruppentheorie sehr bedeutenden Sylowsätze beweisen zu können, benötigt man Wissen zu so genannten Gruppenoperationen. Das ist quasi eine „Standpunktwechsel“ des Satzes von Cayley. Am Ende des bereitgestellten Dokuments werden wir uns noch zwei typische Anwendungsbeispiele der Sylowsätze näher betrachten.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Zusammenhang zwischen der Existens von Homomorphismen und Gruppenoperationen im Kontext des Satzes von Cayley
  • Linksmultiplikation, Linkstranslation, Verbindung zur Darstellungstheorie
  • Gruppenoperationen: Definition und Beispiele (triviale Operation, Linksmultiplikation, symmetrische Gruppe)
  • Bahn, Orbit, Stabilisator, Isotropie-Gruppe, Bahnengleichung, Beispiele und grundlegene Eigenschaften
  • Fixpunktsatz, Fixpunktmenge, Konjugation als Gruppenoperation, Eigenschaften, Zentralisator, Normalisator, abelsche Gruppen, Klassengleichung
  • Erster Satz von Sylow, Beweis, Beispiele, Satz von Cauchy
  • p-Gruppen, p-Sylow-Gruppen, Bahnen und p-Gruppen
  • Zweiter Sylowsatz, Bahnen und p-Sylow-Gruppen
  • Dritter Sylowsatz, Anzahl von p-Sylow-Gruppen, Teilereigenschaften
  • Anwendungen der Sylowsätze, z.B. jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch

Sylowsätze und Gruppenoperationen

Die Sylowsätze und Gruppenoperationen

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