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Sonntag, 26. März 2017 11:11 
Artikel zur Kategorie: Mathematik

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Dualraum eines Vektorraumes (Mathematik)
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Im Alltagsgebrauch versteht man unter dem Begriff der „Dualität“ oftmals eine „enge Beziehung zwischen zwei Objekten“. Innerhalb der Mathematik existieren verschiedene nicht äquivalente Dualitätsbegriffe z.B. in der Linearen Algebra, der Geometrie, der Matroidtheorie und der Logik. In diesem Skript werden wir die Dualität der Vektorräume studieren und veranschaulichen.

Einleitend dazu befassen wir uns in den Präliminarien mit grundlegenden Eigenschaften linearer Abbildungen, Homomorphismen und Darstellungmatrizen. Allerdings beschränken wir uns dabei auf das für unsere Zwecke Notwendige, weshalb wir Kentnisse über Vektorräume, Basen, lineare Abbildungen und Matrizen auch voraussetzen.

Im dritten und letzten Kapitel erklären wir, was wir unter einem Dualraum zu verstehen haben. Daneben zeigen wir erste Eigenschaften auf und veranschaulichen die Zusammenhänge mit ausführlich dargelegten Beispielen. Insbesondere der Zusammenhang eines Dualraumes zu Matrizen werden wir beleuchten und hervorheben. Z.B. werden wir die Konstruktion einer dualen Basis in einem Beispiel durchspielen. Abschließend untersuchen wir noch Bidualräume, um festzustellen, dass diese in natürlicher Weise mit dem Ausgangsvektorraum korrespondieren und daher oft mit diesen identifiziert werden.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Lineare Abbildungen, Vektorraum-Homomorphismus, Kern, Bild, Homomorphismenraum ist Vektorraum, Endomorphismenraum ist Ring, allgemeine lineare Gruppe
  • Lineare Abbildungen und Matrizen, Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bzw. zwischen Matrizen und linearen Abbildungen, Isomorphismus, Körperelemente, Beispiele, Darstellungssatz.
  • Dualraum ist Raum der linearen Abbildungen zwischen V und dem zu Grunde gelegtem Körper, Hom(V, K).
  • Endliches Beispiel eines Dualraumes über IF_2, Integral bzw. Differenzierung als lineare Funktionale
  • Duale Basen und duale Vektoren, Kroneckersymbol, Konstruktion einer dualen Basis, Bespiel, Isomorphismus.
  • Bidualraum: Definition und Isomorphismus.
Geschrieben von Alexander am Sonntag, 17. Juni 2012 mehr...

Struktur eines Körpers - algebraische und tranzendente Körpererweiterungen (Mathematik)
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Körpererweiterungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Körpertheorie; diese ist wiederum der Algebra zugeordnet. Die klassische Aufgabe der Algebra ist es Gleichungen der Form anXn+an-1Xn-1 + ... + a1X1 + a0X0 = 0 zu lösen. Dies ist sicher eine recht konkrete und naheliegende Frage. Im Laufe einer jahrhundertelangen Entwicklung hat sich herausgestellt, dass dies eine überaus schwierige Aufgabe ist, und dass ein gewaltiger begrifflicher und theoretischer Aufwand notwendig ist, um sie einigermaßen zu beantworten.

Die Körpererweiterungen L:K stellen einen ersten großen Schritt in diese Richtung dar. Die Galois-Theorie löst das gestellte Problem in aller Allgemeinheit und die Körpererweiterungen bilden sozusagen eine Vorstufe zur Theorie von Evariste Galois.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Primringe und Primkörper, Abbildung zwischen Ringen (Ringhomomorphismus, Bild ist ein Unterring), (positive) Charakteristik, kleinste Unterring, kleinste Unterkörper, Existenz eines Monomorphismus, Kern, Form der Ideale im Ring der ganzen Zahlen Z, Integritätsbereich bzw. Integritätsring, Q und Fp sind bis auf Isomorphie die einzigen Primkörper
  • Körperhomomorphismus, Eindeutigkeit der neutralen Elemente (0,1) und der Inversen, jeder Körperhomomorphismus ist injektiv
  • Definition Erweiterungskörper, Körpererweiterung, Oberkörper, Unterkörper, Teilkörper, Zwischenkörper, L:K, L/K, L|K, Beispiele
  • System von Unterkörpern, Jede Körpererweiterung L:K (jeder Zwischenkörper) besitzt denselben Primkörper
  • Erweiterungskörper ist eine natürlicher Vektorraum, Basis, linear unabhängig, (Skalar-)Multiplikation, endliche Erweiterung, einfache Erweiterung, quadratische Erweiterung
  • Charakterisierung der Adjunktion, Adjunktion endlicher Mengen, einfache Körpererweiterung.
  • K[X]/(f(X)) bildet einen K-Vektorraum mit Dimension Grad(f)=n, Jeder Körper ist Vektorraum über seinem Primkörper
  • Gradsatz, Beweis, Folgerungen daraus, C:R hat keine echten Zwischenkörper
  • Adjunktion, kleinster Körper, einfache Körpererweiterung, primitives Element
  • Sätze über endliche Erweiterungen
  • Algebraische Zahl, Minimalpolynom p(X) von a: irreduzibel, algebraische Zahl, Grad, Teiler, Polynom kleinsten Grades, so dass p(a)=0, Einsetzungshomomorphismus, Substitutionshomomorphismus, Kern des Einsetzungshomomorphismus ist ein Hauptideal - dieses wird vom Minimalpolynom erzeugt,
  • Jede endliche Erweiterung ist algebraisch
  • Menge aller Einsetzungen, Bild des Einsetzungshomomorphismus = K[a], Isomorph zur Adjunktion mit a, also K[a]~K(a), wenn a algebraisch ist, K-Isomorphismus
  • Transzendente Körpererweiterrung, Vektorraum ist unendlich-dimensional, K[a] ist isomorph zum Polynomring K[T], Homomorphiesatz, unendlich viele Zwischenkörper
  • Menge aller algebraischen Zahlen eines Körpers K, algebraischer Abschluss, Beispiel, Körpereigenschaften
Geschrieben von Alexander am Freitag, 02. September 2011 mehr...

Einführung in die Wahrscheinlichkeits-Theorie (Mathematik)
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Die Wahrscheinlichkeits-Theorie (=: W-Theorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik, in der man die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse untersucht. Gemeinsam mit der Statistik bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik, wobei die W-Theorie das theoretische Fundament darstellt auf dem die Statistik ruht. Dabei erfährt die W-Theorie indirekt durch das Vordringen der Statistik in Bereiche wie der Technik, der Medizin, der Ökonomie oder der Psychologie immer mehr an Bedeutung. Direkte Anwendungen der W-Theorie können vor allem in der Physik (wie z.B. der Quanten-Mechanik) oder der reinen Mathematik gefunden werden; so basisert z.B. ein von P. Erdös eingeführtes Beweisverfahren, die sog. Probabilistische Methode, auf der W-Theorie. In dieser Arbeit werden wir maßtheoretische Grundlagen der W-Theorie herleiten, begründen und veranschaulichen. Kenntnisse aus der naiven Mengenlehre, Grundlegendes der Analysis (z.B. der Binomische Lehrsatz, Exponentialfunktion u.Ä.), ein gutes logisches Verständnis und das Interesse an der Materie sollten für eine erfolgreiche Bearbeitung dieses Dokumentes ausreichen. Das eingeschlagene Niveau wird dem einer Vorlesung an einer (deutschen) Universität entsprechen. Allerdings werden wir darüber hinaus versuchen das Verständnis mit Hilfe von Beispielen und erklärenden Kommentaren zu festigen. Im Einzelnen werden behandelt:

  • Grundlagen: Potenzmenge, Mengenfamlie, Partition, symmetrische Differenz, Gesetze von De Morgan, Limes superior, Limes inferior, obere Limes, untere Limes, isoton, antitone und monotone Kovnergenz, erweiterte reelle Zahlen, Urabbildung, Urbild, Faser.
  • Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Ausgang, (Elementar-)Ereignis, Komplementär-Ereignis, unmögliches und sicheres Ereignis, Ereignissystem, abgeschlossen gegenüber Mengenoperationen.
  • Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß), nichtnegativ, normiert, sigma-additiv, diskreter Wahrscheinlichkeits-Raum, Eigenschaften, Wahrscheinlichkeits-Funktion, Beispiele, induzierte W-Funktion, Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gleichverteilung, Laplaceschen W-Begriff.
  • Stetige Wahrscheinlichkeits-Räume, Maßproblem, Satz von Vitlali, Antinomie, Definition und Sätze zu (Mengen-)Halbringen, Ringen und Algebren.
  • sigma-Algebren und sigma-Ringe, Messraum, Spur, allg. W-Räume, Erzeugendensysteme, von einem Mengensystem erzeugte sigma-Algebra, Raum der n-dimensionalen Figuren, Borel-Mengen, Borelsche Sigma-Algebra bzw. Borel-Körper, Erzeugung der offenen, geschlossenen und kompakten Mengen, Inhalt, allg. Maß.
  • Fortsetzung und Eindeutigkeit von Maßen, 1. und 2. Fortsetzungssatz für W-Maße, sigma-endlich, Nullmenge, Borel-Lebesgue-Maß, Bewegungsinvarianz.
  • Zufallsvariablen und messbare Abbildungen, Eigenschaften, Urbild, Messbarkeits-Kriterium, Definition Zufallsvariable, Indikatorfunktion, charakterisitische Funktion, Bild und Bildmaß, Wahrscheinlichkeits-Verteilung.
Geschrieben von Alexander am Montag, 28. Juni 2010 mehr...

2008 - das Jahr der Mathematik (Mathematik)
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Zur Feier des Jahres der Mathematik erstellte die Arbeitsgruppe Mathematische Geometrieverarbeitung der Freien Universität Berlin diverse Bastelbögen zur Erstellung einer
Das Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper, schöne Artikel zu diesem Thema findet man auf dem Matheplaneten: Einige Informationen zu Minimalflächen findet man auch unter
Ferner wurden zwei Themen-Dossiers bereitgestellt:
Quelle: Webseite zum Jahr der Mathematik (http://www.jahr-der-mathematik.de).
Geschrieben von Alexander am Dienstag, 10. März 2009

Kardinal- und Ordinalzahlen: Zähmung des Unendlichen (Mathematik)
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In diesem Dokument werden wir uns der Mengenlehre und somit unmittelbar auch dem Unendlichen widmen. Beide Themen sind nicht nur mathematischer sondern auch philosophischerNatur. Der Schöpfer der Mengenlehre Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) hat selbst lange Zeit als Mathematiker und Philosoph gearbeitet und publiziert. Will man die Mengenlehre verstehen, so kommt man nicht umhin sich mit der Unendlichkeit vertraut zu machen. In unserer Alltagswelt sind jedoch sämtliche Dinge endlich, wie also soll man als endliches Wesen die Unendlichkeit begreifen?

Das Genie Georg Cantor hat einen Weg ins Paradies „Mengenlehre“ gefunden und dennoch wurden seine überragenden Leistungen erst postum geehrt. Zu Lebzeiten stieß Cantor überwiegend auf Unverständnis und Missachtung. In diesem Manuskript werden wir zwei große Entdeckungen Cantors unter die Lupe nehmen: zum Einen die Kardinal- und zum Anderen die Ordinalzahlen.

Die von Cantor gegebene Definition einer Menge werden wir direkt im Anschluss studieren und deren Unschärfe an Hand von Antinomien erläutern. Im Anschluss betrachten wir das wohl bekannteste und wichtigste Axiomensystem der Mengenlehre ZFC. Auf diesem mathematischen Fundament, der axiomatischen Mengenlehre, werden wir Ordnungen einführen und genauer untersuchen. Ordnungen spielen eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit Kardinal- und Ordinalzahlen und darüber hinaus. Wir werden viele wunderschöne Beweise und Sätze, wie z.B. die Diagonalargumente von Cantor oder den Satz von Schröder & Bernstein, kennenlernen, die zum Teil auch im „BUCH der Beweise“, [2] enthalten sind.

Obwohl auch anspruchsvolle Sätze angeführt und bewiesen werden benötigt man für das Verständnis dieses Dokuments nur recht wenig Vorwissen. Lediglich Grundlegendes aus der Mengenlehre sollte man parat haben. So sollte einem klar sein, was man z.B. unter der Vereinigung oder dem Durchschnitt von Mengen versteht. Ferner sollten einem die naiven Defintionen der wichtigsten „Zahlenbereiche“, wie z.B. die Menge der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen (die „Zahlengerade“) bewusst sein.  Die Menge der natürlichen Zahlen werden wir mengentheoretisch weiter unten einführen. Im Einzelnen werden behandelt:

  • Definition von Cantor des Begriffs Menge; Mannigfaltigkeitslehre; Objekt;Eigenschaften; Antinomie von Betrand Russel, rasiert sich der Barbier selbst?; Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten; „Ich lüge mit diesem Satz“; Antinomie von Burali-Forti: Die Gesamtheit aller Ordinalzahlen ist keine Menge; Antinomie von Cantor: Die Gesamtheit aller Kardinalzahlen ist keine Menge; echte Klasse.
  • Axiomatische Mengenlehre: Zermelo, Fraenkel,ZFC: Existenz der leeren Menge, Extensionalitätsaxiom, Paarmengenaxiom, Vereinigungsmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Aussonderungsaxiom, Ersetzungsschema, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom, Auswahlaxiom.
  • Ordnungen auf Mengen: Teilordnung, Halbordnung, partieller Ordnung oder Ordnungsrelation, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, halbgeordnete Menge, vergleichbar, unvergleichbar, total geordnet oder linear geordnet, Trichotomie, Beispiele, Lemma von Zorn, (triviales) Intervall ,  x bedeckt y, total geordnete Teilmenge, Kette der Länge n, unterteilbare Kette, maximale Kette.
  • Unendliche Mengen und Kardinalzahlen: gleiche Kardinalzahl, leiche Mächtigkeit oder die gleiche Kardinalität; n-Menge; Definition abzählbare Menge und überabzählbare Menge; von gleicher Kardinalzahl; Hilberts Hotel; Zimmer und Gäste als Veranschaulichung einer bijektiven Abbildung; Dedekinds Definition einer unendlichen Menge; Äquivalenzrelation gleich mächtiger Mengen; Kardinalzahl;
  • Abbzählbar unendliche Mengen: Ganze Zahlen sind abzählbar; (erstes und zweites) Diagonalarument von Cantor; Cantorsche Paarungsfunktion; Jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen Mk ist wieder abzählbar; eleganter Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen von N. Calkin und H. Wilf; Hyperbinärdarstellung; Überabzählbare Mengen: Die Menge der reellen Zahlen R ist nicht abzählbar; Diagonalargument; Kontinuum; Gleichmächtigkeit aller Intervalle in R; Die Menge R2 aller geordneter Paare von reellen Zahlen (die reelle Ebene) hat dieselbe Größe wie R.
  • „Größer“ und „Kleiner“ bei Mächtigkeiten: Aleph; Mächtigkeit der natürlichen Zahlen; Menge M echt kleiner ist als eine Menge N; |M| kleiner oder gleich |N|; Totalordnung der Kardinalzahlen; Satz von von Schröder & Bernstein; Unendliche Mächtigkeiten: Für jede nicht leere Menge M ist deren Potenzmenge echt mächtiger als M selbst; Seien M und N Mengen gleicher Mächtigkeit, dann gilt: Ist M unendlich, so auch N; 
  • Von Ordinalzahlen: mengentheoretische Einführung der natürlichen Zahlen; Nachfolger; Nachfolgermenge;Prinzip der vollständigen Induktion; kleinste Nachfolgermenge ω ;Jedes Element einer natürlichen Zahl n ist auch eine echte Teilmenge von n; Enthaltensein und Teilmengen sind für natürliche Zahlen äquivalent; transitive Mengen; Ordnungstypus; Fundamentalsatz über W(α);
  • Wohlordnungen:natürlichen Zahlen ist eine wohlgeordnete Menge; absteigende Kettenbedingung (DCC); Wohlordnungssatz von Zermelo; ordnungsisomorph; ordnungstreue Abbildung, gleich geordnet; ähnliche, gleichlange Wohlordnungen;die Ordnung auf der Menge der Wohlordnungen; Anfangsstück einer Wohlordnung; kürzer als bei Wohlordnungen; Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen;
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 23. Juli 2008 mehr...


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