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Mittwoch, 26. April 2017 00:16 

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Algebra


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Die Sylowsätze und Gruppenoperationen
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Zur genauen Beschreibung einer endlichen Gruppe gehören insbesondere Aussagen über ihre Untergruppen, vor allem wird man nach Existenz und Eigenschaften von Untergruppen vorgegebener Ordnung fragen. Existiert eine Untergruppe H einer Gruppe G, so ist nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von H ein Teiler der Gruppenordnung G.

Sei G eine Gruppe von Ordnung n und sei T die Menge der positiven Teiler von n, dann existiert im Allgemeinen nicht für jedes t aus T eine Untergruppe H von G. Schränkt man jedoch die Voraussetzungen ein, so kann man in der Tat die Existenz gewisser Untergruppen mit entsprechender Ordnung nachweisen. Dies ist die Hauptaussage des ersten Sylowsatzes. Der zweite Sylowsatz gibt darüber Auskunft welche Struktur diese speziellen Untergruppen einnehmen (sie liegen alle auf einer Bahn bzw. sind Teilmenge von p-Sylow-Gruppen). Schließlich gibt der letzte und damit dritte Sylow-Satz Auskunft über die Anzahl von p-Sylow-Gruppen.

Um diese für die Gruppentheorie sehr bedeutenden Sylowsätze beweisen zu können, benötigt man Wissen zu so genannten Gruppenoperationen. Das ist quasi eine „Standpunktwechsel“ des Satzes von Cayley. Am Ende des bereitgestellten Dokuments werden wir uns noch zwei typische Anwendungsbeispiele der Sylowsätze näher betrachten.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Zusammenhang zwischen der Existens von Homomorphismen und Gruppenoperationen im Kontext des Satzes von Cayley
  • Linksmultiplikation, Linkstranslation, Verbindung zur Darstellungstheorie
  • Gruppenoperationen: Definition und Beispiele (triviale Operation, Linksmultiplikation, symmetrische Gruppe)
  • Bahn, Orbit, Stabilisator, Isotropie-Gruppe, Bahnengleichung, Beispiele und grundlegene Eigenschaften
  • Fixpunktsatz, Fixpunktmenge, Konjugation als Gruppenoperation, Eigenschaften, Zentralisator, Normalisator, abelsche Gruppen, Klassengleichung
  • Erster Satz von Sylow, Beweis, Beispiele, Satz von Cauchy
  • p-Gruppen, p-Sylow-Gruppen, Bahnen und p-Gruppen
  • Zweiter Sylowsatz, Bahnen und p-Sylow-Gruppen
  • Dritter Sylowsatz, Anzahl von p-Sylow-Gruppen, Teilereigenschaften
  • Anwendungen der Sylowsätze, z.B. jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch
Geschrieben von Alexander am Samstag, 25. Februar 2012 mehr...

Struktur eines Körpers - algebraische und tranzendente Körpererweiterungen (Mathematik)
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Körpererweiterungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Körpertheorie; diese ist wiederum der Algebra zugeordnet. Die klassische Aufgabe der Algebra ist es Gleichungen der Form anXn+an-1Xn-1 + ... + a1X1 + a0X0 = 0 zu lösen. Dies ist sicher eine recht konkrete und naheliegende Frage. Im Laufe einer jahrhundertelangen Entwicklung hat sich herausgestellt, dass dies eine überaus schwierige Aufgabe ist, und dass ein gewaltiger begrifflicher und theoretischer Aufwand notwendig ist, um sie einigermaßen zu beantworten.

Die Körpererweiterungen L:K stellen einen ersten großen Schritt in diese Richtung dar. Die Galois-Theorie löst das gestellte Problem in aller Allgemeinheit und die Körpererweiterungen bilden sozusagen eine Vorstufe zur Theorie von Evariste Galois.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Primringe und Primkörper, Abbildung zwischen Ringen (Ringhomomorphismus, Bild ist ein Unterring), (positive) Charakteristik, kleinste Unterring, kleinste Unterkörper, Existenz eines Monomorphismus, Kern, Form der Ideale im Ring der ganzen Zahlen Z, Integritätsbereich bzw. Integritätsring, Q und Fp sind bis auf Isomorphie die einzigen Primkörper
  • Körperhomomorphismus, Eindeutigkeit der neutralen Elemente (0,1) und der Inversen, jeder Körperhomomorphismus ist injektiv
  • Definition Erweiterungskörper, Körpererweiterung, Oberkörper, Unterkörper, Teilkörper, Zwischenkörper, L:K, L/K, L|K, Beispiele
  • System von Unterkörpern, Jede Körpererweiterung L:K (jeder Zwischenkörper) besitzt denselben Primkörper
  • Erweiterungskörper ist eine natürlicher Vektorraum, Basis, linear unabhängig, (Skalar-)Multiplikation, endliche Erweiterung, einfache Erweiterung, quadratische Erweiterung
  • Charakterisierung der Adjunktion, Adjunktion endlicher Mengen, einfache Körpererweiterung.
  • K[X]/(f(X)) bildet einen K-Vektorraum mit Dimension Grad(f)=n, Jeder Körper ist Vektorraum über seinem Primkörper
  • Gradsatz, Beweis, Folgerungen daraus, C:R hat keine echten Zwischenkörper
  • Adjunktion, kleinster Körper, einfache Körpererweiterung, primitives Element
  • Sätze über endliche Erweiterungen
  • Algebraische Zahl, Minimalpolynom p(X) von a: irreduzibel, algebraische Zahl, Grad, Teiler, Polynom kleinsten Grades, so dass p(a)=0, Einsetzungshomomorphismus, Substitutionshomomorphismus, Kern des Einsetzungshomomorphismus ist ein Hauptideal - dieses wird vom Minimalpolynom erzeugt,
  • Jede endliche Erweiterung ist algebraisch
  • Menge aller Einsetzungen, Bild des Einsetzungshomomorphismus = K[a], Isomorph zur Adjunktion mit a, also K[a]~K(a), wenn a algebraisch ist, K-Isomorphismus
  • Transzendente Körpererweiterrung, Vektorraum ist unendlich-dimensional, K[a] ist isomorph zum Polynomring K[T], Homomorphiesatz, unendlich viele Zwischenkörper
  • Menge aller algebraischen Zahlen eines Körpers K, algebraischer Abschluss, Beispiel, Körpereigenschaften
Geschrieben von Alexander am Freitag, 02. September 2011 mehr...

Einführung in die Theorie der Moduln (Mathematik)
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Zu den wichtigsten algebraischen Konstrukten gehören, neben den Klassikern wie Gruppe, Ring, Körper und Vektorraum, auch und inbesondere die Moduln. Die Theorie der Moduln hat sich als Erweiterung der Ringtheorie aus der Darstellungstheorie von Gruppen, Ringen und Algebren entwickelt. In ihr finden die Methoden der Ringtheorie und der linearen Algebra Anwendung. An den vielen Beispielen werden wir sehen, dass der Begriff des Modul über einem Ring viele der algebraischen Strukturen verallgemeinert.

Der Begriff des Modul ist Grundlage der sog. Homologischen Algebra. Historisch steht der heutige Begriff am Ende einer langen Entwicklung, die damit begann, dass Gauß die Bezeichnung a ≡ b [mod m] –- gelesen: a kongruent b modulo m –- einführte für die Aussage, dass a − b durch m teilbar ist (a, b,m ganze Zahlen und m > 0). Als „Modul“ wurde zunächst die Zahl m, später die Menge aller ganzzhaligen Vielfachen von m, also die Teilmenge (bzw. das Ideal) bezeichnet.

Einige Ergebnisse der linearen Algebra können leicht modifiziert für bestimmte Moduln angewendet werden. Es ist sicher hilfreich diese analogen Kenntnisse zunächst in der linearen Algebra zu studieren. Ferner sollte man Elementares über Gruppen und Ringe wissen, d.h.Worte wie Normalteiler, Ideal oder Ähnliches sollten keine Fremdwörter sein. Dieses Dokument ist als ausführliche Einführung in die Theorie der Moduln zu verstehen. Dabei bezieht sich das ausführlich nur auf die bahandelten Punkte, nicht jedoch auf die Gesamtheit der Modultheorie. Zur Modul- bzw. Ringtheorie existieren ganze Werke, deshalb können wir innerhalb dieses Dokuments nur an der Oberfläche kratzen. Die vorkommenden Sätze, Lemmata und Beispiele habe ich so gewählt, dass wichtige weiterführende Themen, wie exakte Sequenzen, freie oder projektive Moduln, im Anschluss ohne Probleme studiert werden können.

Im Einzelnen werden behandelt:
  • Definition: (unitäre) R-Linksmodul und R-Rechtsmodul; R-Bimodul, innere und äußere Verknüpfung; strenge Notation; K-Modul ist ein K-Vektorraum; nicht jedes Modul ist ein Vektorraum;
  • Beispiele zu Moduln; abelsche Gruppe G ist Z-Modul, ausführliche Beweise; Ring R über sich selbst ist ein Modul; K ein Schiefkörper; triviale Moduln; abelsche Gruppe mit Endomorphismenring als Modul; lineare Abbiludng eines Vektorraums zusammen mit Polynomring K[X] als Modul;
  • Charakterisierung von Moduln; Modul M ist im wesentlichen dasselbe wie ein Ring-Homomorphismus von R in End(M); Beweisverfahren der homologischen Algebra; Erweiterung bzw. Fortsetzung eines Homomorphismus auf R[X]; Beispiele;
  • Untermoduln; Untergruppenkriterium; Beispiele; zyklischer Untermodul; trivialen Untermoduln; induzierte äußere Verknüpfung; Zusammenhang mit Homomorphismen;
  • Einfache, minimale und maximale Untermoduln; einfacher Modul; minimaler Untermodul; maximaler Untermodul; geordnete Menge; Beweisprinzip; Beispiele;
  • Zyklizität und Erzeugendensysteme von Moduln; zyklisches bzw. monogenes Modul; Indexmenge; Familie von Untermoduln; System von Untermoduln; Durchschnitt von Untermoduln wieder Modul; von einer Teilmenge erzeugter Modul; Erzeugendensystem; endlich erzeugt; kleinste Untermodul; Menge aller endlichen Linearkombinationen; Zusammenhang zwischen Summe und Vereinigung von Untermoduln; Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermoduln; Menge aller endlichen Linearkombinationen; größte Untermodul, dass alle Untermoduln enthält; Inklusion als Ordnungsrelation;
  • Faktor-Moduln von M nach U; Definition und Beispiele; Herleitung der Verknüpfungen; induzierte Verknüpfung; R-Faktormodul; Wohldefiniertheit;
  • Untermoduln mit Idealen konstruieren; M ein R-Modul, dann ist das Produkt aM mit a Ideal aus R selbst wieder ein Modul; M/aM ist Modul und mit maximalem Ideal a sogar ein Vektorraum über dem Körper R/a; zweiseitiges Ideal;
  • Annullator und Torsionselemente; Annulator eines Modulelements bzw. eines Untermoduls sind Links- bzw. Rechtsideale; Torsionselement; torsionsfrei; treue Moduln; Torsionsuntermodul bzw. Torsionsmodul; Tor(M) ist ein Untermodul von M; M/T or(M) ist torsionsfrei; R/Ann(x) isomorph zu M;
  • Modul-Homomorphismen; R-Modul-Homomorphismus (oder auch R-linear); Homomorphismengruppe Hom(M,N); Menge aller Modul-Homomorphismen; Beispiele: kanonische Projektion; Endomorphismen; Epimorphismen; Monomorphismen; Automorphismen; grundlegende Rechenregeln mit Morphismen; Kern des Homomorphismus und Bild des Homomorphismus sind Untermoduln; Modul-Homomorphismus ist injektiv genau dann, wenn Kern gleich {0}; Kokern und Kobild eines Homomorphismus; Homomorphiesatz; Erster und zweiter Isomorphiesatz; Produktzerlegung von Homomorphismen; verallgemeinerung des Homomorphiesatzes; zerlegbarer Endomorphismus und zerlegbarer Monomorphismus; Zusammenhänge zwischen Bild, Kern, Surjektivität, Injektivität und der direkten Summe;
  • Direkte Produkt und direkte Summe von Moduln; Summe der Untermoduln; innere und äußere direkte Summe; Definition und äquivalente Charakterisierungen; direktes Komplement; direkter Summand; direkt unzerlegbar; Zusammenhang zwischen direkter Summe und direktem Produkt; endliche/unedliche Indexmenge; Projektion und Injektion und Zusammenhang zum direkten Produkt bzw. der direkten Summe; endlich erzeugt und endlich koerzeugt; Charakterisierung maximaler Untermoduln;
  • Freie Moduln und Basen von Moduln; Moduln besitzen im Allgemeinen keine Basis; Beispiele;Linearkombination; freie bzw. linear unabhängige Mengen, Erzeugendensyteme; Basis; Kroneckerdelta (auch Kroneckersymbol); freies R-Modul; äquivalente Charakterisierungen; kommutative Ringe mit 1 und M frei, dann haben je zwei Basen dieselbe Mächtigkeit; maximales Ideal; Beweisprinzip; Zornsche Lemma und Auswahlaxiom; Verwendung; Jeder Vektorraum V über einem Schiefkörper K besitzt eine Basis; Ist M ein R-Modul mit kommutativen R und Einselement 1, dann existiert zu jedem Modulelement x genau ein Modul-Homomorphismus, so dass f(1)=x gilt; universelle Eigenschaft des direkten Produkts und daraus generierter Modul-Homomorphismus; Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und einem Modul-Homomorphismus; Beispiele.
Geschrieben von Alexander am Donnerstag, 19. Juli 2007 mehr...

Auflösbare Gruppen, Normal- und Kompositionsreihen (Mathematik)
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Wie fast alle klassischen Themen der Algebra, wurde auch die Auflösbarkeit von Gruppen dadurch getrieben, die Frage nach der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale zu beantworten.

Generationen von Mathematikern, darunter solche Berühmtheiten wie Galois, Jordan oder Abel, beschäftigten sich mit diesem Problem. Letztlich konnte die Galois-Theorie mit Hilfe der sog. Galois-Gruppen das Problem auf die Auflösbarkeit von Gruppen reduzieren, deren Theorie wir hier untersuchen werden. In diesem Zusammehang bietet es sich an, die Konstrukte Normalreihe und Kompositionsreihe näher zu untersuchen.



  • Repetitorium: Homomorphie-Satz; erster und zweiter Isomorphiesatz; Permutationsgruppen, Symmetrische Gruppe; Alternierende Gruppe; Kleinsche Vierergruppe; gerade; ungerade; Ordnungen; Kommutatorgruppen der Permutationsgruppen, Auflösbarkeit von Sn; Definition des direkten Produkts; Homomorphismen;
  • Normalreihen; Beispiele; Untergruppen abelscher Gruppen; Normalteiler von Gruppen; absteigende Gruppenkette von G; normale Kette; Faktorgruppen, Faktoren; zyklische bzw. abelsche Kette; Normalreihe von G nach N; äquivalente Normalreihen; Beispiele; Sätze;
  • Verfeinerungssatz von Schreier; Lemma von Zassenhausen; Definition Verfeinerung; Je zwei Normalreihen einer Gruppe besitzen äquivalente Verfeinerungen; Butterfly-Lemma; dritter Isomorphiesatz; Beweis; Beispiel zum Verfeinerungssatz;
  • Kompositionsreihen; nicht weiter verfeinert werden können, ohne Wiederholungen; maximaler Normalteiler; einfache Gruppe; M maximaler Normalteiler genau dann, wenn G/M einfach ist; Kompositionsreihe; Kompositionsfaktoren;
  • Satz von Jordan-Hölder;
  • Einfache Kommutatorgruppen; Kommutator von a und b; Produkt von Kommutatoren im Allgemeinen nicht wieder Kommutator; Erzeugendensymstem; kleinste Normalteiler; ablescher Faktorgruppe G/N; Höhere Kommutatorgruppen; i-te Kommutatorgruppe von G; Rechenregeln zu Kommutatorgruppen; Kommutatoren von Permutationsgruppen; symmetrische Gruppe Sn ist für n>4 nicht auflösbar;
  • Auflösbare Gruppen; auflösbar; Jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar;Jedes endliche direkte Produkt auflösbarer Gruppen ist auflösbar;Es sei N ein Normalteiler einer Gruppe G. Sind N und G/N auflösbar, so ist auch G auflösbar;Eine Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn sie eine abelsche Normalreihe besitzt;
  • Auflösbarkeit und Kompositionsreihen; Jede Verfeinerung einer abelschen Normalreihe ist abelsch;G ist genau dann auflösbar, wenn die Kompositionsfaktoren von G Primzahlordnung haben; Eine auflösbare Gruppe G besitzt genau dann eine Kompositionsreihe, wenn G endlich ist; Jede endliche p-Gruppe (p Primzahl) ist auflösbar; Alle Gruppen der Ordnung paqb mit Primzahlen p, q und a, b aus IN sind auflösbar; Satz von Burnside; Satz von Feit-Thompson;
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 23. Mai 2007 mehr...

Faktorgruppen, Nebenklassen und Normalteiler (Mathematik)
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Faktorgruppen und Normalteiler sind unmittelbar mit dem so genannten Homomorphiesatz verbunden. So ist es auch nicht verwunderlich, dass sich bei der Konstruktion der Faktorgruppen der Homomorphiesatz in natürlicher Weise einfügt.

Ebenso ergibt sich ein weiterer grundlegender und bedeutender Satz - der Satz von Lagrange, der weitreichende Folgen nach sich zieht. Diese Folgerungen sind bspw. sehr nützlich um Gruppen zu klassifizieren.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Linksnebenklassen modulo H, Rechtsnebenklassen modulo H, Linkstranslation bzw. Linksmultiplikation, Rechtstranslation bzw. Rechtsmultiplikation. Äquivalenzrelation, Repräsentant bzw. Vertreter, Beispiele
  • Zwei Nebenklassen sind gleichmächtig, Nebenklassen (Äquivalenzklassen) sind entweder gleich oder disjunkt, disjunkte Vereinigung, Index einer Untergruppe H von G, Satz von Lagrange, Anzahl der Linksnebenklassen ist gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen
  • Folgerungen aus dem Satz von Lagrange: Ist G von Primzahlordnung, so hat G nur die trivialen Untergruppen G und {e}, Ordnung eines jeden Elements a aus G ist ein Teiler der Gruppenordnung, jede Gruppe mit Primzahlordnung ist zyklisch, ...
  • Im Allgemeinen entsprechen sich Rechtsnebenklassen und Linksnebenklassen nicht, Beispiel, Kriterium für die Gleichheit von Normalteilern, Definition Normalteiler, Charakterisierung von Normalteilern, jeder Kern eines Homomorphismus ist ein Normalteiler.
  • Definition Faktorgruppe G/S bzw. Quotientengruppe von G nach S, Zuordnung wohldefiniert, Beweis, kanonische Projektion
  • Homomorphiesatz für Gruppen, Beweis, Beispiel und Folgerung
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 04. Oktober 2006 mehr...


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