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Mittwoch, 26. Juli 2017 16:45 

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Zahlentheorie


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Quadratische Reste und das quadratische Reziprozitätsgesetz (Mathematik)
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Ein Schmuckstück der elementaren Zahlentheorie ist die Theorie der quadratischen Reste, welche den hauptsächlichen Anlass zur Entwicklung der höheren Zahlentheorie gegeben hat. In diesem Dokument werden wir die Grundlagen dieser Theorie elementar vermitteln, d.h. es sind Kenntnisse über algebraische Konstrukte und zahlentheoretische Funktionen (wie die Eulersche -Funktion) für das Verstehen hilfreich.

Zunächst werden wir das so genannten Legendresymbol definieren und näher untersuchen. Im Anschluss daran beweisen wir einige grundlegende Sätze, wie z.B. das Eulersche Kriterium oder das Gaußsche Lemma.

Der Höhepunkt dieses Dokuments und der elementaren Zahlentheorie ist das quadratische Reziprozitätsgesetzt, welches Gauß in seiner Disquisitiones erstmals bewies. Gauß selbst hat acht Beweise des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste angegeben, von denen sechs auf voneinander gänzlich verschiedenen Ideen fußen. Wir werden uns mit einem sehr anschaulichen Beweis begnügen.

Im Anschluss an diesen wunderbaren Beweis werden wir das Jacobisymbol und einige grundlegende Erkenntnisse, wie Rechenregeln, studieren.



Im Einzelnen werden behandelt:
  • Grundlegende (naive) Definitionen der Meng der natürlichen und ganzen Zahlen, Restklassen, Restklassenring, Menge von Äquivalenzklassen, Kongruenz, Einheitengruppe, Eulersche phi-Funktion, Wert der Eulerschen phi-Funktion für Primzahlpotenzen - Beweis.
  • Definition quadratischer Rest, Beispiel, quadratischer Nichtrest, Wieviele Restklassen besitzen Quadratwurzeln? Antwort für p-Restklassen und allgemein, Erzeuger, zyklsiche Gruppen, Notwendigkeit der Zyklizität, kgV.
  • Problemreduktion auf teilerfremde Faktoren speziell auf Primfaktorzerlegung einer vorgegebenen Zahl im Modul m; a ist quadratischer Rest genau dann, wenn a quadratischer Rest modulo jeder teilerfremden Zahl die a teilt bzw. modulo jeder Primzahlpotenz von a.
  • Quadratische Reste modulo Primzahlpotenzen, ungerade und gerade Primzahlpotenzen, Beispiele, Beweise.
  • Kriterium von Euler und das Legendre-Restsymbol, Legendre-Symbol, Definition, Beispiele, Beweis, notwendiges aber nicht hinreichendes Kriterium für Primzahlen, Folgerungen, Rechenregeln für Legendre-Symbole.
  • Das Gaußsche Lemma, Menge der absolut kleinsten Reste, bijektive Abbildung, ausführlicher Beweis des Gaußschen Lemmas, Anzahl der negativen Zahlen unter den absolut kleinsten Resten modulo p, Anwendung des Gaußschen Lemmas, Beispiel, Beweis des zweiten Ergänzungssatzes, Gaußklammer.
  • Das quadratische Reziprozitätsgesetzt; jedes Legendresymbol kann durch drei Typen gelöst werden, erste und zweite Ergänzungssatz, dritte Typ entspricht dem quadr. Reziprozitätsgesetz, Herleitung, p und q nicht beide von der Form 4k+3 bzw. beide die Form 4k+3, Erläuterung, Anwendung des qudartischen Reziprozitätsgesetzes, Beispiele.
  • Geometrischer Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes mit Hilfe des Gaußschen Lemmas, Zerlegung eines Rechtecks in einen Streifen und zwei Dreiecken, Abzählung von (ganzzahligen) Gitterpunkten in der reellen Ebene, Skizze.
  • Jacobi-Restsymbol, Jacobi-Symbol, Rechenregeln, Reziprozitätsgesetz für Jacobi-Symbole, Zusammenhang mit Legendre-Symbol, Grundlegendes.
Geschrieben von Alexander am Samstag, 28. April 2007 mehr...

Primzerlegung in Z (Mathematik)
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Die Zahlentheorie ist zusammen mit der Algebra das wohl älteste Gebiet der Mathematik. Das unvergängliche Problem der Zahlentheorie ist das der Teilbarkeit:

Ist eine Zahl durch eine andere teilbar oder nicht?

Fast alle Themen der elementaren Zahlentheorie sind Variationen dieses Themas oder wurden zumindest durch diese Fragestellung motiviert.
Untersucht man das Teilbarkeitsproblem näher so stößt man unweigerlich auf die Bausteine der natürlichen bzw. ganzen Zahlen, den Primzahlen. Zum Einen können Primzahlen als Spezialfall von Seiten der Algebra (Primelemente) betrachtet werden, zum Anderen kann man diese elementar über den zahlentheoretischen Zugang studieren. In diesem Dokument werden wir den letzteren Weg wählen.

In alt bewährter Manier werden viele Beispiele zur Veranschulichung aufgeführt; ferner werden Beweise sehr ausführlich behandelt.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Das Teilbarkeitsproblem, Voraussetzungen und Überblick.
  • Prinzip vom kleinsten Element, Prinzip der vollständigen Induktion, Beweis der logischen Äquivalenz bzw. Zusammenhang beider Prinzipien.
  • Teilbarkeit und der Ring Z der ganzen Zahlen, Verknüpfungen Addition, (Subtraktion), Multiplikation, (Division), ganzzahlige Division, a teilt b, Beispiele, Integritätsring, aufgehende Zahl, Vielfaches, Lösen linearer Gleichungen ax-b=0 über Z, Rechenregeln für die ganzzahlige Division und Beweise, triviale Teiler, echte Teiler, absolute Betrag, Abschätzungen für Zahlen a|b.
  • Division mit Rest, Beweis der Existenz und Eindeutigkeit, Quotienten, Rest bei der Division, modulo, Modul, Rest, a kongruent b, Kongruenz, Modulus, Äquivalenzrelation für Restklassenringe bzw. Restklassen.
  • Primzahlen, Definition, zusammengesetzte Zahlen, Charakterisierung der Primzahlen, Unzerlegbarkeitseigenschaft, Primeigenschaft, Einheiten 1 und 0 der Addition und Multiplikation, Existenzsatz des kleinsten Teilers einer natürlichen Zahl der eine Primzahl ist, Unendlichkeit der Primzahlen, Satz von Euklid, Euklidscher Beweis, Konstruktionsverfahren von Euklid am Beispiel, Abschätzungen für Primzahlen, Fundamentallemma, p|ab dann folgt p teilt einen der beiden Faktoren.
  • Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, Primfaktoren, Primfaktorzerlegung, Primzerlegung, Eindeutigkeit der Primzerlegung, Existenz der Primzerlegung, jede natürliche Zahl ungleich 0 besitzt genau eine Primzerlegung, Hauptsatz für Z und N.
Geschrieben von Alexander am Freitag, 12. Januar 2007 mehr...


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