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Freitag, 26. Mai 2017 13:12 

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Mengenlehre


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Kardinal- und Ordinalzahlen: Zähmung des Unendlichen (Mathematik)
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In diesem Dokument werden wir uns der Mengenlehre und somit unmittelbar auch dem Unendlichen widmen. Beide Themen sind nicht nur mathematischer sondern auch philosophischerNatur. Der Schöpfer der Mengenlehre Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) hat selbst lange Zeit als Mathematiker und Philosoph gearbeitet und publiziert. Will man die Mengenlehre verstehen, so kommt man nicht umhin sich mit der Unendlichkeit vertraut zu machen. In unserer Alltagswelt sind jedoch sämtliche Dinge endlich, wie also soll man als endliches Wesen die Unendlichkeit begreifen?

Das Genie Georg Cantor hat einen Weg ins Paradies „Mengenlehre“ gefunden und dennoch wurden seine überragenden Leistungen erst postum geehrt. Zu Lebzeiten stieß Cantor überwiegend auf Unverständnis und Missachtung. In diesem Manuskript werden wir zwei große Entdeckungen Cantors unter die Lupe nehmen: zum Einen die Kardinal- und zum Anderen die Ordinalzahlen.

Die von Cantor gegebene Definition einer Menge werden wir direkt im Anschluss studieren und deren Unschärfe an Hand von Antinomien erläutern. Im Anschluss betrachten wir das wohl bekannteste und wichtigste Axiomensystem der Mengenlehre ZFC. Auf diesem mathematischen Fundament, der axiomatischen Mengenlehre, werden wir Ordnungen einführen und genauer untersuchen. Ordnungen spielen eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit Kardinal- und Ordinalzahlen und darüber hinaus. Wir werden viele wunderschöne Beweise und Sätze, wie z.B. die Diagonalargumente von Cantor oder den Satz von Schröder & Bernstein, kennenlernen, die zum Teil auch im „BUCH der Beweise“, [2] enthalten sind.

Obwohl auch anspruchsvolle Sätze angeführt und bewiesen werden benötigt man für das Verständnis dieses Dokuments nur recht wenig Vorwissen. Lediglich Grundlegendes aus der Mengenlehre sollte man parat haben. So sollte einem klar sein, was man z.B. unter der Vereinigung oder dem Durchschnitt von Mengen versteht. Ferner sollten einem die naiven Defintionen der wichtigsten „Zahlenbereiche“, wie z.B. die Menge der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen (die „Zahlengerade“) bewusst sein.  Die Menge der natürlichen Zahlen werden wir mengentheoretisch weiter unten einführen. Im Einzelnen werden behandelt:

  • Definition von Cantor des Begriffs Menge; Mannigfaltigkeitslehre; Objekt;Eigenschaften; Antinomie von Betrand Russel, rasiert sich der Barbier selbst?; Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten; „Ich lüge mit diesem Satz“; Antinomie von Burali-Forti: Die Gesamtheit aller Ordinalzahlen ist keine Menge; Antinomie von Cantor: Die Gesamtheit aller Kardinalzahlen ist keine Menge; echte Klasse.
  • Axiomatische Mengenlehre: Zermelo, Fraenkel,ZFC: Existenz der leeren Menge, Extensionalitätsaxiom, Paarmengenaxiom, Vereinigungsmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Aussonderungsaxiom, Ersetzungsschema, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom, Auswahlaxiom.
  • Ordnungen auf Mengen: Teilordnung, Halbordnung, partieller Ordnung oder Ordnungsrelation, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, halbgeordnete Menge, vergleichbar, unvergleichbar, total geordnet oder linear geordnet, Trichotomie, Beispiele, Lemma von Zorn, (triviales) Intervall ,  x bedeckt y, total geordnete Teilmenge, Kette der Länge n, unterteilbare Kette, maximale Kette.
  • Unendliche Mengen und Kardinalzahlen: gleiche Kardinalzahl, leiche Mächtigkeit oder die gleiche Kardinalität; n-Menge; Definition abzählbare Menge und überabzählbare Menge; von gleicher Kardinalzahl; Hilberts Hotel; Zimmer und Gäste als Veranschaulichung einer bijektiven Abbildung; Dedekinds Definition einer unendlichen Menge; Äquivalenzrelation gleich mächtiger Mengen; Kardinalzahl;
  • Abbzählbar unendliche Mengen: Ganze Zahlen sind abzählbar; (erstes und zweites) Diagonalarument von Cantor; Cantorsche Paarungsfunktion; Jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen Mk ist wieder abzählbar; eleganter Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen von N. Calkin und H. Wilf; Hyperbinärdarstellung; Überabzählbare Mengen: Die Menge der reellen Zahlen R ist nicht abzählbar; Diagonalargument; Kontinuum; Gleichmächtigkeit aller Intervalle in R; Die Menge R2 aller geordneter Paare von reellen Zahlen (die reelle Ebene) hat dieselbe Größe wie R.
  • „Größer“ und „Kleiner“ bei Mächtigkeiten: Aleph; Mächtigkeit der natürlichen Zahlen; Menge M echt kleiner ist als eine Menge N; |M| kleiner oder gleich |N|; Totalordnung der Kardinalzahlen; Satz von von Schröder & Bernstein; Unendliche Mächtigkeiten: Für jede nicht leere Menge M ist deren Potenzmenge echt mächtiger als M selbst; Seien M und N Mengen gleicher Mächtigkeit, dann gilt: Ist M unendlich, so auch N; 
  • Von Ordinalzahlen: mengentheoretische Einführung der natürlichen Zahlen; Nachfolger; Nachfolgermenge;Prinzip der vollständigen Induktion; kleinste Nachfolgermenge ω ;Jedes Element einer natürlichen Zahl n ist auch eine echte Teilmenge von n; Enthaltensein und Teilmengen sind für natürliche Zahlen äquivalent; transitive Mengen; Ordnungstypus; Fundamentalsatz über W(α);
  • Wohlordnungen:natürlichen Zahlen ist eine wohlgeordnete Menge; absteigende Kettenbedingung (DCC); Wohlordnungssatz von Zermelo; ordnungsisomorph; ordnungstreue Abbildung, gleich geordnet; ähnliche, gleichlange Wohlordnungen;die Ordnung auf der Menge der Wohlordnungen; Anfangsstück einer Wohlordnung; kürzer als bei Wohlordnungen; Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen;
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 23. Juli 2008 mehr...


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