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Freitag, 24. März 2017 09:08 

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Analysis


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Stetigkeit in R (Mathematik)
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Stetiges Verhalten einer Funktion f im Punkt a, lässt sich als ein kontrolliertes Verhalten der Funktion in der Nähe (bzw. innerhalb einer Umgebung) des Punktes a deuten. Die Funktionswerte f(x) weichen nur wenig vom Sollwert f(a) ab, wenn die Variable x nur genügend nahe bei a liegt. Um diese Aussage vollständig nachvollziehen zu können, sollte man den Satz der lokalen Trennung und die Definition genau studieren.

Die Stetigkeit wird in der Schule oftmals stiefmütterlich behandelt: "Eine Funktion ist stetig, wenn deren Graph ohne abzusetzen gezeichnet werden kann" - diese intuitive Vorstellung erweist sich in der Allgemeinheit jedoch als falsch und sollte abgelegt werden. Die meisten Beweise zur Stetigkeit fehlen in diesem Dokument, der Schwerpunkt liegt in der (korrekten) Veranschaulichung und zugehörigen Beispielen.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Definition der Stetigkeit mit Hilfe des Umgebungsbegriffes; Heqvisidefunktion;
  • Jede Funktion ist in den isolierten Punkten ihres Definitionsbereichs stetig; Epsilon-Delta-Kriterium; Folgenkriterium und Anschauung; Zusammenhänge;
  • Beispiele zu den Kriterien; Überblick an stetigen Funktion;
  • Häufungspunkte; Folgenkriterium II mit Grenzwert; Stetigkeit als lokale Eigenschaft;
  • Stetige Fortsetzung; Zusammenhang mit Häufungspunkten; Beispiele; Definition der stetigen Fortsetzbarkeit; Existenz der stetigen Fortsetzbarkeit und Grenzwert; Polstellen, Definitionslücken, Sprungstellen;
  • Stetigkeit aufgefasst als Approximierbarkeit durch konstante Funktionen; Differenzierbarkeit als Approximierbarkeit durch affine Funktionen; Taylorpolynome als Approximation durch Polynome;
Geschrieben von Alexander am Freitag, 09. Februar 2007 mehr...

Die Partialbruchzerlegung (Mathematik)
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Die Partialbruchzerlegung wird insbesondere in der Analysis und der Funktionentheorie benötigt.

Um die Theorie hinter der Partialbruchzerlegung nachvollziehen zu können, benötigt man Kenntnisse aus dem Bereich der Algebra. Die Irreduzibilität von Polynomen über dem reellen bzw. komplexen Körper ist dabei von besonderer Bedeutung. Ferner sind das Lemma von Bezout, sowie der euklidische Algorithmus für Polynome wichtige Werkzeuge für die Beweisführung.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Algebraische Grundlagen:
    Polynom-Division mit Rest, euklidische Algorithmus, Bezout, Fundamentalsatz der Algebra, teilerfremde, normierte und konstante Polynome, reduzibel und irreduzibel, Zerlegung von Polynomen und Nullstellen von Polynomen
  • Definition Partialbruch
  • reeller Ansatz und komplexer Ansatz
  • Koeffizientenmethode, Einsetzungsmethode
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 18. Januar 2006 mehr...

Reihen und (absolute) Konvergenz (Mathematik)
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Verbindet man die Glieder einer Zahlenfolge an (n=1, 2, 3, ...) durch Pluszeichen, so entsteht eine unendliche Reihe:

a1+a2+a3 +... = ∑ an


In der Theorie der reellen und komplexen Zahlen ist aber nur das Rechnen mit endlichen Summen axiomatisch begründet. Man kann also nicht erwarten, dass man mit formal gebildeten Summen rechnen kann. Das wird klar an dem Beispiel

S=1-1+1-1+1-1+-...


Je nach Klammerung (Assoziativität!) kann man entweder S=0 oder S=1 erhalten, was offensichtlich zu einem Widerspruch führt. Dieses einfache Beispiel zeigt, dass man die Rechenregeln für endliche Summen nicht ohne weiteres auf formal gebildete unendliche Reihen übertragen darf.

Darüber hinaus ist insbesondere die Konvergenz von Reihen das zentrale Thema dieses Dokuments:



  • Reihe, als Folge ihrer Partialsummen
  • Geometrische, harmonische, Exponential-, Cosinus-, und Sinusreihe
  • Rechenregeln für konvergente Reihen
  • Konvergenzkriterien und Beispiele:
    Trivialkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium, Cauchykriteirum, Epsilon-n-Kriterium, Monotoniekriterium, Superemuskriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium
  • Absolute Konvergenz und Umordnung
Geschrieben von Alexander am Freitag, 30. Dezember 2005 mehr...

Zahlen-Folgen, Konvergenz und Divergenz (Mathematik)
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Zahlenfolgen sind für die Analysis und damit für die gesamte Mathematik grundlegend. Mit Folgen kann man bspw. die Konvergenz charakterisieren und sich der Unendlichkeit annähern. Neben den in diesem Dokument behandelten Zahlenfolgen gibt es auch noch Funktionenfolgen oder Folgen von Räumen. Reihen sind spezielle Folgen, somit sind Folgen auch für Reihen von großer Bedeutung.






Im Einzelnen werden behandelt:

  • Definition einer Zahlenfolge: Eine Folge ist eine Funktion NR
  • Konvergenzkriterien: ε-n0-Kriterium, Monotoniekriterium, Cauchykriterium, Sandwich-Theorem, Quetschlemma, endlich viele Abänderungen, Teilfolgen.
  • Divergenzkriterien
  • Rechenregeln für konvergente Folgen, Grenzwertsätze
  • Cauchyfolge
  • Teilfolgen
  • Eindeutigkeit des Grenzwertes, Produkt aus Nullfolgen und beschränkten Folgen
  • Beispiele
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 14. Dezember 2005 mehr...


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