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Donnerstag, 27. Juli 2017 00:30 

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Wahrscheinlichkeits-Theorie


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Einführung in die Wahrscheinlichkeits-Theorie (Mathematik)
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Die Wahrscheinlichkeits-Theorie (=: W-Theorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik, in der man die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse untersucht. Gemeinsam mit der Statistik bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik, wobei die W-Theorie das theoretische Fundament darstellt auf dem die Statistik ruht. Dabei erfährt die W-Theorie indirekt durch das Vordringen der Statistik in Bereiche wie der Technik, der Medizin, der Ökonomie oder der Psychologie immer mehr an Bedeutung. Direkte Anwendungen der W-Theorie können vor allem in der Physik (wie z.B. der Quanten-Mechanik) oder der reinen Mathematik gefunden werden; so basisert z.B. ein von P. Erdös eingeführtes Beweisverfahren, die sog. Probabilistische Methode, auf der W-Theorie. In dieser Arbeit werden wir maßtheoretische Grundlagen der W-Theorie herleiten, begründen und veranschaulichen. Kenntnisse aus der naiven Mengenlehre, Grundlegendes der Analysis (z.B. der Binomische Lehrsatz, Exponentialfunktion u.Ä.), ein gutes logisches Verständnis und das Interesse an der Materie sollten für eine erfolgreiche Bearbeitung dieses Dokumentes ausreichen. Das eingeschlagene Niveau wird dem einer Vorlesung an einer (deutschen) Universität entsprechen. Allerdings werden wir darüber hinaus versuchen das Verständnis mit Hilfe von Beispielen und erklärenden Kommentaren zu festigen. Im Einzelnen werden behandelt:

  • Grundlagen: Potenzmenge, Mengenfamlie, Partition, symmetrische Differenz, Gesetze von De Morgan, Limes superior, Limes inferior, obere Limes, untere Limes, isoton, antitone und monotone Kovnergenz, erweiterte reelle Zahlen, Urabbildung, Urbild, Faser.
  • Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Ausgang, (Elementar-)Ereignis, Komplementär-Ereignis, unmögliches und sicheres Ereignis, Ereignissystem, abgeschlossen gegenüber Mengenoperationen.
  • Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß), nichtnegativ, normiert, sigma-additiv, diskreter Wahrscheinlichkeits-Raum, Eigenschaften, Wahrscheinlichkeits-Funktion, Beispiele, induzierte W-Funktion, Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gleichverteilung, Laplaceschen W-Begriff.
  • Stetige Wahrscheinlichkeits-Räume, Maßproblem, Satz von Vitlali, Antinomie, Definition und Sätze zu (Mengen-)Halbringen, Ringen und Algebren.
  • sigma-Algebren und sigma-Ringe, Messraum, Spur, allg. W-Räume, Erzeugendensysteme, von einem Mengensystem erzeugte sigma-Algebra, Raum der n-dimensionalen Figuren, Borel-Mengen, Borelsche Sigma-Algebra bzw. Borel-Körper, Erzeugung der offenen, geschlossenen und kompakten Mengen, Inhalt, allg. Maß.
  • Fortsetzung und Eindeutigkeit von Maßen, 1. und 2. Fortsetzungssatz für W-Maße, sigma-endlich, Nullmenge, Borel-Lebesgue-Maß, Bewegungsinvarianz.
  • Zufallsvariablen und messbare Abbildungen, Eigenschaften, Urbild, Messbarkeits-Kriterium, Definition Zufallsvariable, Indikatorfunktion, charakterisitische Funktion, Bild und Bildmaß, Wahrscheinlichkeits-Verteilung.
Geschrieben von Alexander am Montag, 28. Juni 2010 mehr...


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