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Freitag, 24. März 2017 08:56 
Artikel zur Kategorie: Mathematik

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Einführung in die Theorie der Matroide (Mathematik)
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Die Theorie der Unabhängigkeitssysteme wurde bereits Anfang der 1930er Jahre von B.L. van der Waerden in seiner legendären zweibändigen Reihe Moderne Algebra behandelt; allerdings von einer rein algebraischen Warte aus. Im September des Jahres 1934 publizierte die American Mathematical Society eine Arbeit von Hassler Whitney mit dem Titel On the Abstract Properties of Linear Dependence. Diese Arbeit markiert die eigentliche Geburtsstunde der Theorie der allgemeinen Unabhängigkeitssysteme. Hassler Whitney schlug damals den Namen „Matroid“ vor, da er allgemeine Unabhängikeitssysteme mit Hilfe von Matrizen (oid [zu griech. -oiedes = ähnlich]) definierte.

Im zweiten Abschnitt Präliminarien werden wir die wichtigsten Definitionen und Sätze aus der linearen Algebra, der Graphentheorie und der Mengenlehre wiederholen. Im darauffolgenden Abschnitt Matroide wird der zentrale Begriff des gesamten Dokuments definiert und veranschaulicht. Dazu behandeln wir die erste wichtige Klasse von Matroiden, die so genannten Vektormatroiden. Ein wesentliches Charakteristikum von Matroiden ist, dass diese auf viele äquivalente Arten definiert werden können (sie sind kryptomorph). Im vierten Abschnitt werden wir die einige davon kennenlernen. Im vorletzten Abschnitt werden wir ein, nicht nur für die Matroidtheorie, wichtiges Prinzip kennenlernen – die Dualität. Schließlich untersuchen wir noch im letzten Abschnitt, wie Verbände und Matroide zusammenhängen.

Im Einzelnen werden behandelt:
  • Lineare Unabhängigkeit: Definition, Herleitung und äquivalente Chrakterisierung, überflüssige Vektoren, Reduzierung, Beweis.
  • Graphentheorie: kartesische (direkte) Produkt, Menge der geordneten Paare von Elementen, erste und zweite Element, ungeordnete Paare, ungerichteter Graph, Knoten, Kanten, Kanteninzidenzabbildung, Knoten v und Kante k heißen inzident, Adjazenz für Knoten und Kanten, Knotengrad, Kantengrad, Knoten- bzw. Kantengradabbildung, Schlinge, parallele Kanten, einfacher Graph, Beispiele, Kantenfolge der Länge n, verbindbar, zusammenhängend oder verbunden, unzusammenhängend, Untergraph oder Teilgraph, erzeugte Untergraph, Kograph, Komponente, Rang, Kantenzug, Kantenweg oder kurz Weg, geschlossene Kantenfolge, geschlossener Kantenzug, Kantenkreis oder kurz Kreis, Baum, maximal kreislos, minimal zusammenhängend.
  • Ordnungen und Verbände: Teilordnung, Halbordnung, partieller Ordnung oder Ordnungsrelation, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, halbgeordnete Menge, vergleichbar, unvergleichbar, total geordnet oder linear geordnet, Trichotomie, Beispiele, maximales Element, minimales Element, obere Schranke von M, untere Schranke von M, nach oben beschränkt, nach unten beschränkt, Infinum, Supremum, Nullelement, Einselement der Halbordnung, Lemma von Zorn, (triviales) Intervall , Atom, Coatom, x bedeckt y, total geordnete Teilmenge, Kette der Länge n, Antikette, unterteilbare Kette, maximale Kette, Höhe eines Elements, Jordan-Dedekindsche Kettenbedingung auf einer Halbordnung, Hasse-Diagramm, Beispiele, Vereinigung und Schnitt (meet and join) auf einer Halbordnung, (vollständiger) Verband, atomarer Verband, Potenzmenge mit Inklusion ist Verband, Boolesche Algebra.
  • Matroide: Definition mit Hilfe der Menge aller unabhängigen Mengen, erblich, hereditär, Ergänzungssatz, unabhängig, abhängig, Beispiele, triviale Matroide, Matroide aus Vektorräumen, Vektormatroiden, Isomorphismus zwischen Matroiden, darstellbare bzw. repräsentierbare Matroide, Beweise, Matrizen, Matrix.
  • Axiomatik der Matroide: Axiome des Basissystems, Basis, Gleichmächtigkeit zweier Basen eines Matroids, Basis-Axiome, durch Basissystem eindeutig bestimmter Matroid, uniforme Matroid, freie Matroid, Axiome des Zirkuitsystems, Kreise eines Matroids, minimal abhängig, Kreis oder Zirkuit, Zirkuitsystem, Länge eines Kreises, graphische Matroide, Beispiele, durch Menge aller Kreise bestimmter Matroid, Kreis-Axiome, schwaches Kreiseliminationsaxiom, starkes Kreiseleminationsaxiom, Fundamentalkreise eines Matroids, Fundamentalkreis zur Basis B und
    dem Element x, Kreismatroide aus Graphen, Kreismatroid oder Polygonmatroid, Axiome der Rangfunktion, lineare Hülle, Abschlussoperator oder Hüllenoperator, extensiv, isoton und idempotent, Rangfunktion eines Matroids, Reduktion von, Löschen von, Rang von, Rangfunktion r ist nicht negativ und subkardinal, sie ist monoton und submodular, Abschlussoperator und die Rangfunktion, durch Rangfunktion eindeutig bestimmter Matroid, Axiome des Abschlussoperators, Steinitz-MacLane-Austauscheigenschaft, Rangfunktion bildet Hüllenoperator, Unterräume, abgeschlossenen Mengen, Punkte, Linien, Ebenen, Hyperebenen, Erzeugendensystem von M, Charakterisierung von Erzeugendensystemen, Basen und Hyperebenen durch den Rang, Restriktion/Reduktion eines Matroids, Kreismatroide und der Abschluss.
  • Dualität und Matroide: Definition und Beispiele, Existenz des „dualen“ Matroiden, Dual von M oder den zu M dualen Matroiden M*, Cobasen, Cokreise, Cohyperebenen, Corang, counabhängig, Attribute eines Duals, Zusammenhang zwischen M und dessen Dual M*, Rangformel für duale Matroide, Clutter und Blocker, Clutter (oder Antikette), komplementären Clutter, Eigenschaften eines Blockers, Clutter und Hyperebenen.
  • Unterraumverbände von Matroiden: Unterräume eines Matroids bilden einen (geometrischen) Verband, Beispiel, Fano-Matroid, Fano-Ebene, projektive Ebene, semimodular.
Geschrieben von Alexander am Donnerstag, 14. Februar 2008 mehr...

Einführung in die Theorie der Moduln (Mathematik)
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Zu den wichtigsten algebraischen Konstrukten gehören, neben den Klassikern wie Gruppe, Ring, Körper und Vektorraum, auch und inbesondere die Moduln. Die Theorie der Moduln hat sich als Erweiterung der Ringtheorie aus der Darstellungstheorie von Gruppen, Ringen und Algebren entwickelt. In ihr finden die Methoden der Ringtheorie und der linearen Algebra Anwendung. An den vielen Beispielen werden wir sehen, dass der Begriff des Modul über einem Ring viele der algebraischen Strukturen verallgemeinert.

Der Begriff des Modul ist Grundlage der sog. Homologischen Algebra. Historisch steht der heutige Begriff am Ende einer langen Entwicklung, die damit begann, dass Gauß die Bezeichnung a ≡ b [mod m] –- gelesen: a kongruent b modulo m –- einführte für die Aussage, dass a − b durch m teilbar ist (a, b,m ganze Zahlen und m > 0). Als „Modul“ wurde zunächst die Zahl m, später die Menge aller ganzzhaligen Vielfachen von m, also die Teilmenge (bzw. das Ideal) bezeichnet.

Einige Ergebnisse der linearen Algebra können leicht modifiziert für bestimmte Moduln angewendet werden. Es ist sicher hilfreich diese analogen Kenntnisse zunächst in der linearen Algebra zu studieren. Ferner sollte man Elementares über Gruppen und Ringe wissen, d.h.Worte wie Normalteiler, Ideal oder Ähnliches sollten keine Fremdwörter sein. Dieses Dokument ist als ausführliche Einführung in die Theorie der Moduln zu verstehen. Dabei bezieht sich das ausführlich nur auf die bahandelten Punkte, nicht jedoch auf die Gesamtheit der Modultheorie. Zur Modul- bzw. Ringtheorie existieren ganze Werke, deshalb können wir innerhalb dieses Dokuments nur an der Oberfläche kratzen. Die vorkommenden Sätze, Lemmata und Beispiele habe ich so gewählt, dass wichtige weiterführende Themen, wie exakte Sequenzen, freie oder projektive Moduln, im Anschluss ohne Probleme studiert werden können.

Im Einzelnen werden behandelt:
  • Definition: (unitäre) R-Linksmodul und R-Rechtsmodul; R-Bimodul, innere und äußere Verknüpfung; strenge Notation; K-Modul ist ein K-Vektorraum; nicht jedes Modul ist ein Vektorraum;
  • Beispiele zu Moduln; abelsche Gruppe G ist Z-Modul, ausführliche Beweise; Ring R über sich selbst ist ein Modul; K ein Schiefkörper; triviale Moduln; abelsche Gruppe mit Endomorphismenring als Modul; lineare Abbiludng eines Vektorraums zusammen mit Polynomring K[X] als Modul;
  • Charakterisierung von Moduln; Modul M ist im wesentlichen dasselbe wie ein Ring-Homomorphismus von R in End(M); Beweisverfahren der homologischen Algebra; Erweiterung bzw. Fortsetzung eines Homomorphismus auf R[X]; Beispiele;
  • Untermoduln; Untergruppenkriterium; Beispiele; zyklischer Untermodul; trivialen Untermoduln; induzierte äußere Verknüpfung; Zusammenhang mit Homomorphismen;
  • Einfache, minimale und maximale Untermoduln; einfacher Modul; minimaler Untermodul; maximaler Untermodul; geordnete Menge; Beweisprinzip; Beispiele;
  • Zyklizität und Erzeugendensysteme von Moduln; zyklisches bzw. monogenes Modul; Indexmenge; Familie von Untermoduln; System von Untermoduln; Durchschnitt von Untermoduln wieder Modul; von einer Teilmenge erzeugter Modul; Erzeugendensystem; endlich erzeugt; kleinste Untermodul; Menge aller endlichen Linearkombinationen; Zusammenhang zwischen Summe und Vereinigung von Untermoduln; Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermoduln; Menge aller endlichen Linearkombinationen; größte Untermodul, dass alle Untermoduln enthält; Inklusion als Ordnungsrelation;
  • Faktor-Moduln von M nach U; Definition und Beispiele; Herleitung der Verknüpfungen; induzierte Verknüpfung; R-Faktormodul; Wohldefiniertheit;
  • Untermoduln mit Idealen konstruieren; M ein R-Modul, dann ist das Produkt aM mit a Ideal aus R selbst wieder ein Modul; M/aM ist Modul und mit maximalem Ideal a sogar ein Vektorraum über dem Körper R/a; zweiseitiges Ideal;
  • Annullator und Torsionselemente; Annulator eines Modulelements bzw. eines Untermoduls sind Links- bzw. Rechtsideale; Torsionselement; torsionsfrei; treue Moduln; Torsionsuntermodul bzw. Torsionsmodul; Tor(M) ist ein Untermodul von M; M/T or(M) ist torsionsfrei; R/Ann(x) isomorph zu M;
  • Modul-Homomorphismen; R-Modul-Homomorphismus (oder auch R-linear); Homomorphismengruppe Hom(M,N); Menge aller Modul-Homomorphismen; Beispiele: kanonische Projektion; Endomorphismen; Epimorphismen; Monomorphismen; Automorphismen; grundlegende Rechenregeln mit Morphismen; Kern des Homomorphismus und Bild des Homomorphismus sind Untermoduln; Modul-Homomorphismus ist injektiv genau dann, wenn Kern gleich {0}; Kokern und Kobild eines Homomorphismus; Homomorphiesatz; Erster und zweiter Isomorphiesatz; Produktzerlegung von Homomorphismen; verallgemeinerung des Homomorphiesatzes; zerlegbarer Endomorphismus und zerlegbarer Monomorphismus; Zusammenhänge zwischen Bild, Kern, Surjektivität, Injektivität und der direkten Summe;
  • Direkte Produkt und direkte Summe von Moduln; Summe der Untermoduln; innere und äußere direkte Summe; Definition und äquivalente Charakterisierungen; direktes Komplement; direkter Summand; direkt unzerlegbar; Zusammenhang zwischen direkter Summe und direktem Produkt; endliche/unedliche Indexmenge; Projektion und Injektion und Zusammenhang zum direkten Produkt bzw. der direkten Summe; endlich erzeugt und endlich koerzeugt; Charakterisierung maximaler Untermoduln;
  • Freie Moduln und Basen von Moduln; Moduln besitzen im Allgemeinen keine Basis; Beispiele;Linearkombination; freie bzw. linear unabhängige Mengen, Erzeugendensyteme; Basis; Kroneckerdelta (auch Kroneckersymbol); freies R-Modul; äquivalente Charakterisierungen; kommutative Ringe mit 1 und M frei, dann haben je zwei Basen dieselbe Mächtigkeit; maximales Ideal; Beweisprinzip; Zornsche Lemma und Auswahlaxiom; Verwendung; Jeder Vektorraum V über einem Schiefkörper K besitzt eine Basis; Ist M ein R-Modul mit kommutativen R und Einselement 1, dann existiert zu jedem Modulelement x genau ein Modul-Homomorphismus, so dass f(1)=x gilt; universelle Eigenschaft des direkten Produkts und daraus generierter Modul-Homomorphismus; Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und einem Modul-Homomorphismus; Beispiele.
Geschrieben von Alexander am Donnerstag, 19. Juli 2007 mehr...

Auflösbare Gruppen, Normal- und Kompositionsreihen (Mathematik)
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Wie fast alle klassischen Themen der Algebra, wurde auch die Auflösbarkeit von Gruppen dadurch getrieben, die Frage nach der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale zu beantworten.

Generationen von Mathematikern, darunter solche Berühmtheiten wie Galois, Jordan oder Abel, beschäftigten sich mit diesem Problem. Letztlich konnte die Galois-Theorie mit Hilfe der sog. Galois-Gruppen das Problem auf die Auflösbarkeit von Gruppen reduzieren, deren Theorie wir hier untersuchen werden. In diesem Zusammehang bietet es sich an, die Konstrukte Normalreihe und Kompositionsreihe näher zu untersuchen.



  • Repetitorium: Homomorphie-Satz; erster und zweiter Isomorphiesatz; Permutationsgruppen, Symmetrische Gruppe; Alternierende Gruppe; Kleinsche Vierergruppe; gerade; ungerade; Ordnungen; Kommutatorgruppen der Permutationsgruppen, Auflösbarkeit von Sn; Definition des direkten Produkts; Homomorphismen;
  • Normalreihen; Beispiele; Untergruppen abelscher Gruppen; Normalteiler von Gruppen; absteigende Gruppenkette von G; normale Kette; Faktorgruppen, Faktoren; zyklische bzw. abelsche Kette; Normalreihe von G nach N; äquivalente Normalreihen; Beispiele; Sätze;
  • Verfeinerungssatz von Schreier; Lemma von Zassenhausen; Definition Verfeinerung; Je zwei Normalreihen einer Gruppe besitzen äquivalente Verfeinerungen; Butterfly-Lemma; dritter Isomorphiesatz; Beweis; Beispiel zum Verfeinerungssatz;
  • Kompositionsreihen; nicht weiter verfeinert werden können, ohne Wiederholungen; maximaler Normalteiler; einfache Gruppe; M maximaler Normalteiler genau dann, wenn G/M einfach ist; Kompositionsreihe; Kompositionsfaktoren;
  • Satz von Jordan-Hölder;
  • Einfache Kommutatorgruppen; Kommutator von a und b; Produkt von Kommutatoren im Allgemeinen nicht wieder Kommutator; Erzeugendensymstem; kleinste Normalteiler; ablescher Faktorgruppe G/N; Höhere Kommutatorgruppen; i-te Kommutatorgruppe von G; Rechenregeln zu Kommutatorgruppen; Kommutatoren von Permutationsgruppen; symmetrische Gruppe Sn ist für n>4 nicht auflösbar;
  • Auflösbare Gruppen; auflösbar; Jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar;Jedes endliche direkte Produkt auflösbarer Gruppen ist auflösbar;Es sei N ein Normalteiler einer Gruppe G. Sind N und G/N auflösbar, so ist auch G auflösbar;Eine Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn sie eine abelsche Normalreihe besitzt;
  • Auflösbarkeit und Kompositionsreihen; Jede Verfeinerung einer abelschen Normalreihe ist abelsch;G ist genau dann auflösbar, wenn die Kompositionsfaktoren von G Primzahlordnung haben; Eine auflösbare Gruppe G besitzt genau dann eine Kompositionsreihe, wenn G endlich ist; Jede endliche p-Gruppe (p Primzahl) ist auflösbar; Alle Gruppen der Ordnung paqb mit Primzahlen p, q und a, b aus IN sind auflösbar; Satz von Burnside; Satz von Feit-Thompson;
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 23. Mai 2007 mehr...

Quadratische Reste und das quadratische Reziprozitätsgesetz (Mathematik)
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Ein Schmuckstück der elementaren Zahlentheorie ist die Theorie der quadratischen Reste, welche den hauptsächlichen Anlass zur Entwicklung der höheren Zahlentheorie gegeben hat. In diesem Dokument werden wir die Grundlagen dieser Theorie elementar vermitteln, d.h. es sind Kenntnisse über algebraische Konstrukte und zahlentheoretische Funktionen (wie die Eulersche -Funktion) für das Verstehen hilfreich.

Zunächst werden wir das so genannten Legendresymbol definieren und näher untersuchen. Im Anschluss daran beweisen wir einige grundlegende Sätze, wie z.B. das Eulersche Kriterium oder das Gaußsche Lemma.

Der Höhepunkt dieses Dokuments und der elementaren Zahlentheorie ist das quadratische Reziprozitätsgesetzt, welches Gauß in seiner Disquisitiones erstmals bewies. Gauß selbst hat acht Beweise des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste angegeben, von denen sechs auf voneinander gänzlich verschiedenen Ideen fußen. Wir werden uns mit einem sehr anschaulichen Beweis begnügen.

Im Anschluss an diesen wunderbaren Beweis werden wir das Jacobisymbol und einige grundlegende Erkenntnisse, wie Rechenregeln, studieren.



Im Einzelnen werden behandelt:
  • Grundlegende (naive) Definitionen der Meng der natürlichen und ganzen Zahlen, Restklassen, Restklassenring, Menge von Äquivalenzklassen, Kongruenz, Einheitengruppe, Eulersche phi-Funktion, Wert der Eulerschen phi-Funktion für Primzahlpotenzen - Beweis.
  • Definition quadratischer Rest, Beispiel, quadratischer Nichtrest, Wieviele Restklassen besitzen Quadratwurzeln? Antwort für p-Restklassen und allgemein, Erzeuger, zyklsiche Gruppen, Notwendigkeit der Zyklizität, kgV.
  • Problemreduktion auf teilerfremde Faktoren speziell auf Primfaktorzerlegung einer vorgegebenen Zahl im Modul m; a ist quadratischer Rest genau dann, wenn a quadratischer Rest modulo jeder teilerfremden Zahl die a teilt bzw. modulo jeder Primzahlpotenz von a.
  • Quadratische Reste modulo Primzahlpotenzen, ungerade und gerade Primzahlpotenzen, Beispiele, Beweise.
  • Kriterium von Euler und das Legendre-Restsymbol, Legendre-Symbol, Definition, Beispiele, Beweis, notwendiges aber nicht hinreichendes Kriterium für Primzahlen, Folgerungen, Rechenregeln für Legendre-Symbole.
  • Das Gaußsche Lemma, Menge der absolut kleinsten Reste, bijektive Abbildung, ausführlicher Beweis des Gaußschen Lemmas, Anzahl der negativen Zahlen unter den absolut kleinsten Resten modulo p, Anwendung des Gaußschen Lemmas, Beispiel, Beweis des zweiten Ergänzungssatzes, Gaußklammer.
  • Das quadratische Reziprozitätsgesetzt; jedes Legendresymbol kann durch drei Typen gelöst werden, erste und zweite Ergänzungssatz, dritte Typ entspricht dem quadr. Reziprozitätsgesetz, Herleitung, p und q nicht beide von der Form 4k+3 bzw. beide die Form 4k+3, Erläuterung, Anwendung des qudartischen Reziprozitätsgesetzes, Beispiele.
  • Geometrischer Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes mit Hilfe des Gaußschen Lemmas, Zerlegung eines Rechtecks in einen Streifen und zwei Dreiecken, Abzählung von (ganzzahligen) Gitterpunkten in der reellen Ebene, Skizze.
  • Jacobi-Restsymbol, Jacobi-Symbol, Rechenregeln, Reziprozitätsgesetz für Jacobi-Symbole, Zusammenhang mit Legendre-Symbol, Grundlegendes.
Geschrieben von Alexander am Samstag, 28. April 2007 mehr...

Stetigkeit in R (Mathematik)
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Stetiges Verhalten einer Funktion f im Punkt a, lässt sich als ein kontrolliertes Verhalten der Funktion in der Nähe (bzw. innerhalb einer Umgebung) des Punktes a deuten. Die Funktionswerte f(x) weichen nur wenig vom Sollwert f(a) ab, wenn die Variable x nur genügend nahe bei a liegt. Um diese Aussage vollständig nachvollziehen zu können, sollte man den Satz der lokalen Trennung und die Definition genau studieren.

Die Stetigkeit wird in der Schule oftmals stiefmütterlich behandelt: "Eine Funktion ist stetig, wenn deren Graph ohne abzusetzen gezeichnet werden kann" - diese intuitive Vorstellung erweist sich in der Allgemeinheit jedoch als falsch und sollte abgelegt werden. Die meisten Beweise zur Stetigkeit fehlen in diesem Dokument, der Schwerpunkt liegt in der (korrekten) Veranschaulichung und zugehörigen Beispielen.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Definition der Stetigkeit mit Hilfe des Umgebungsbegriffes; Heqvisidefunktion;
  • Jede Funktion ist in den isolierten Punkten ihres Definitionsbereichs stetig; Epsilon-Delta-Kriterium; Folgenkriterium und Anschauung; Zusammenhänge;
  • Beispiele zu den Kriterien; Überblick an stetigen Funktion;
  • Häufungspunkte; Folgenkriterium II mit Grenzwert; Stetigkeit als lokale Eigenschaft;
  • Stetige Fortsetzung; Zusammenhang mit Häufungspunkten; Beispiele; Definition der stetigen Fortsetzbarkeit; Existenz der stetigen Fortsetzbarkeit und Grenzwert; Polstellen, Definitionslücken, Sprungstellen;
  • Stetigkeit aufgefasst als Approximierbarkeit durch konstante Funktionen; Differenzierbarkeit als Approximierbarkeit durch affine Funktionen; Taylorpolynome als Approximation durch Polynome;
Geschrieben von Alexander am Freitag, 09. Februar 2007 mehr...


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