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Artikel zur Kategorie: Mathematik

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Die Möbius-Transformation (Mathematik)
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Die Möbius-Transformationen (auch gebrochen lineare Transformation genannt) bilden eine bestimmte Klasse von komplexen Funktionen. Genauer: Eine Möbius-Transformation ist eine rationale Funktion deren Zähler und Nennergrad maximal 1 ist. Ferner müssen die Koeffizienten dieser Funktion eine spezielle Voraussetzung erfüllen.

Man könnte fast meinen, dass diese Abbildung relativ langweilig erscheinen, doch bei genaueren Untersuchungen kann man feststellen, dass dies mitnichten so ist.
Im Gegenteil, durch diese Klasse von Funktionen kann man bspw. automorphe Funktionen definieren. Auch im Bereich der automorphen Formen spielen diese unscheinbaren Funktionen eine bedeutende Rolle.

In dem bereitgestellten PDF-Dokument werden insbesondere die algebraischen Zusammenhänge der Möbiustransformationen und der Menge der invertierbaren Matrizen GL(2,) (=general linear group) untersucht. Das Doppelverhältnis o.ä. behandeltn wir in diesem Dokument nicht.
Im Einzelnen werden untersucht:

  • Die Menge der Möbius-Transformationen bilden eine Gruppe.
    Inverse Möbius-Transformation, neutrales Element, Komposition bzw. Matrizenmultiplikation als Verknüpfung, Assoziativität
  • Stetigkeit gebrochen lineare Transformationen, erweiterte komplexe Ebene, Riemannsche Zahlenkugel, stetige Fortsetzung ins Unendliche
  • Möbius-Transformation dargestellt als Komposition von Elementartypen
  • Gruppenhomomorphismus, Kern, Normalteiler
  • Beispiele
Geschrieben von Alexander am Dienstag, 21. Februar 2006 mehr...

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus (Mathematik)
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Oftmals werden grundlegende Erkenntnisse der Mathematik vergessen. Die Reihe Grundlagen der Mathematik soll dem entgegenwirken.

Die binomischen Formeln sind nützliche Instrumente, welche in vielen Gebieten der Mathematik gewinnbringend eingesetzt werden können. Dabei ist ein Binom (bi- kommt vom lat. bini = je zwei) eine Summe oder eine Differenz von je zwei Gliedern a und b, also entweder (a+b) oder (a-b). Die Qualitäten der binomischen Formeln erkennt man insbesondere bei der Lösung von Gleichungen und dem Vereinfachen von Brüchen und Wurzeltermen.
Es bietet sich an in diesem Zuge auch Binomialkoeffizienten zu behandeln und einige Eigenschaften zu studieren. Schließlich werden wir noch den dritten binomischen Lehrsatz verallgemeinern und auf drei verschiedene Arten beweisen.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Die drei binomischen Formeln
  • Beispiele zur Anwendung
  • Verallgemeinerungen der binomischen Formeln
  • Der Binomialkoeffizient und der binomische Lehrsatz
  • Pascalsche Dreieck und der Binomialkoeffizient
  • Pascalsche Dreieck und der binomische Lehrsatz
  • Herleitung und Beweis der Lösung einer „vermischten“ quadratischen Gleichung
Geschrieben von Alexander am Montag, 13. Februar 2006 mehr...

Die Partialbruchzerlegung (Mathematik)
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Die Partialbruchzerlegung wird insbesondere in der Analysis und der Funktionentheorie benötigt.

Um die Theorie hinter der Partialbruchzerlegung nachvollziehen zu können, benötigt man Kenntnisse aus dem Bereich der Algebra. Die Irreduzibilität von Polynomen über dem reellen bzw. komplexen Körper ist dabei von besonderer Bedeutung. Ferner sind das Lemma von Bezout, sowie der euklidische Algorithmus für Polynome wichtige Werkzeuge für die Beweisführung.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Algebraische Grundlagen:
    Polynom-Division mit Rest, euklidische Algorithmus, Bezout, Fundamentalsatz der Algebra, teilerfremde, normierte und konstante Polynome, reduzibel und irreduzibel, Zerlegung von Polynomen und Nullstellen von Polynomen
  • Definition Partialbruch
  • reeller Ansatz und komplexer Ansatz
  • Koeffizientenmethode, Einsetzungsmethode
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 18. Januar 2006 mehr...

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus (Mathematik)
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Die binomischen Formeln sind nützliche Instrumente, welche in vielen Gebieten der Mathematik gewinnbringend eingesetzt werden können.

Dabei ist ein Binom (bi- kommt vom lat. bini = je zwei) eine Summe oder eine Differenz von je zwei Gliedern a und b, also entweder (a+b) oder (a-b). Die Qualitäten der binomischen Formeln erkennt man insbesondere bei der Lösung von Gleichungen und dem Vereinfachen von Brüchen und Wurzeltermen.

Im Folgenden PDF-Dokument werden nicht nur die binomischen Formeln und Ihre Anwendungen behandelt. Der Leser findet von der quadratischen Ergänzung hin zur Herleitung und dem Beweis der allgemeinen Lösungsformel einer quadratischen Gleichung viele interessante Aspekte rund ums Binom

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Die drei binomischen Formeln
  • Beispiele zur Anwendung
  • Verallgemeinerungen der binomischen Formeln
  • Der Binomialkoeffizient und der binomische Lehrsatz
  • Pascalsche Dreieck und der Binomialkoeffizient
  • Pascalsche Dreieck und der binomische Lehrsatz
  • Herleitung und Beweis der Lösung einer „vermischten“ quadratischen Gleichung

 

Geschrieben von Alexander am Samstag, 14. Januar 2006 mehr...

Reihen und (absolute) Konvergenz (Mathematik)
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Verbindet man die Glieder einer Zahlenfolge an (n=1, 2, 3, ...) durch Pluszeichen, so entsteht eine unendliche Reihe:

a1+a2+a3 +... = ∑ an


In der Theorie der reellen und komplexen Zahlen ist aber nur das Rechnen mit endlichen Summen axiomatisch begründet. Man kann also nicht erwarten, dass man mit formal gebildeten Summen rechnen kann. Das wird klar an dem Beispiel

S=1-1+1-1+1-1+-...


Je nach Klammerung (Assoziativität!) kann man entweder S=0 oder S=1 erhalten, was offensichtlich zu einem Widerspruch führt. Dieses einfache Beispiel zeigt, dass man die Rechenregeln für endliche Summen nicht ohne weiteres auf formal gebildete unendliche Reihen übertragen darf.

Darüber hinaus ist insbesondere die Konvergenz von Reihen das zentrale Thema dieses Dokuments:



  • Reihe, als Folge ihrer Partialsummen
  • Geometrische, harmonische, Exponential-, Cosinus-, und Sinusreihe
  • Rechenregeln für konvergente Reihen
  • Konvergenzkriterien und Beispiele:
    Trivialkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium, Cauchykriteirum, Epsilon-n-Kriterium, Monotoniekriterium, Superemuskriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium
  • Absolute Konvergenz und Umordnung
Geschrieben von Alexander am Freitag, 30. Dezember 2005 mehr...


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