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Freitag, 26. Mai 2017 13:22 
Artikel zur Kategorie: Mathematik

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Einführung in die Theorie des (mathematischen) Testens (Mathematik)
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Die Testtheorie ist neben der Schätztheorie eine der bedeutensten Theorien, welche insbesondere in der Statistik Anwendung finden.

Die Testtheorie versucht aufgestellte Hypothesen zu bestätigen oder diese abzulehnen. Testverfahren basieren dabei stets auf (endliche) Stichprobenrealisationen, und unterliegen damit u.a. der Varianz der wahren Verteilung, und somit auch einer gewissen Fehleranfälligkeit.

Die folgenden Themen werden in dem vorliegenden Dokumente behandelt:

  • Einführung in die Theorie des Testens in Prosa
  • Testproblem
  • Hypothese (Nullhypothese) vs. Alternative (Alternativhypothese)
  • einfache und zusammengesetzte Testexperimente
  • Qualitätsansprüche an Tests (Fehler 1. und 2. Art)
Geschrieben von Alexander am Donnerstag, 22. Dezember 2005 mehr...

Der Kerndichteschätzer - Approximation von Dichtekurven (Mathematik)
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In der Statistik unterstellt man den untersuchten Phänomenen eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung, und das diese durch eine Stichprobenrealisation charakterisiert wird.

Die Schätztheorie, welche verschiedene Verfahren zur Verfügung stellt, versucht die Verteilung selbst bzw. Parameter der -wahren oder geschätzen- Verteilung zu ermitteln. Eines der bekanntesten Verfahren ist dabei der Histogramm-Schätzer. Dieses Verfahren birgt jedoch einige Nachteile in sich, welche das beschriebene Verfahren 'umgeht'.

Der im folgenden beschriebene Kerndichteschätzer ist ein Verfahren, dass eine stetige Schätzung der wahren aber unbekannten Verteilung ermöglicht.

Folgende Themen werden behandelt:

  • Grundlagen über Dichten (Faltung, gemeinsame Dichten von ZV, ...)
  • Bild von K unter Homothetie, Transformationssatz für Dichten
  • Entwicklung des Kerndichteschätzers
  • Satz von Nadaraja
  • Heuristik für die Entwicklung des Kerndichte-Schätzers
  • Gleitende Histogramme
  • Optimale Wahl der Bandbreite / Bandweite h
  • Herleitung des Kerndichteschätzers
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 21. Dezember 2005 mehr...

Schätzen von Verteilungen (Mathematik)
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Ein wesentliche Unterschied zwischen Statistik und Wahrscheinlichkeits-Theorie liegt darin begründet, dass man im Gegensatz zur W-Theorie in der Statistik i.d.R. kein Wissen hinsichtlich der Verteilung (einer ZV) zur Verfügung stehen hat.

In der Statistik sind also Parameter bzw. Verteilungen i.d.R. nicht (vor-)gegeben, und müssen deshalb auf einem geeignetem Weg ermittelt werden. Deshalb zieht man das Methoden-Arsenal der Test- und Schätztheorie zurate.

Im folgendem Dokument wird eine Einführung in die Statistik und in die Schätztheorie gegeben:

  • Grundbegriffe der Statistik (statistische Einheit, Grund- und Teilgesamtheit, Stichprobenrealisation, Merkmale, ...)
  • Absolute und relative Häufigkeiten
  • Das statistische Modell (statistische Raum, Stichprobenraum, Kollektion von Maßen,...)
  • Empirische Verteilung / Verteilungsfunktion
  • Punktweise und gleichmäßige Konvergenz des Schätzers
  • Satz von Glivenko-Cantelli .
Geschrieben von Alexander am Freitag, 16. Dezember 2005 mehr...

Zahlen-Folgen, Konvergenz und Divergenz (Mathematik)
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Zahlenfolgen sind für die Analysis und damit für die gesamte Mathematik grundlegend. Mit Folgen kann man bspw. die Konvergenz charakterisieren und sich der Unendlichkeit annähern. Neben den in diesem Dokument behandelten Zahlenfolgen gibt es auch noch Funktionenfolgen oder Folgen von Räumen. Reihen sind spezielle Folgen, somit sind Folgen auch für Reihen von großer Bedeutung.






Im Einzelnen werden behandelt:

  • Definition einer Zahlenfolge: Eine Folge ist eine Funktion NR
  • Konvergenzkriterien: ε-n0-Kriterium, Monotoniekriterium, Cauchykriterium, Sandwich-Theorem, Quetschlemma, endlich viele Abänderungen, Teilfolgen.
  • Divergenzkriterien
  • Rechenregeln für konvergente Folgen, Grenzwertsätze
  • Cauchyfolge
  • Teilfolgen
  • Eindeutigkeit des Grenzwertes, Produkt aus Nullfolgen und beschränkten Folgen
  • Beispiele
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 14. Dezember 2005 mehr...

Bijektivität (Mathematik)
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Funktionen sind die zentralen Objekte der Mathematik; entsprechend wichtig ist es, gewisse Eigenschaften der Funktionen untersuchen und deuten zu können. Die Surjektivität und die Injektivität sind Eigenschaften von Funktionen. Ist eine Funktion injektiv und surjektiv, so ist sie bijektiv.

Mehr zu diesem Thema und Beispiele finden Sie im bereitliegenden pdf-Dokument (siehe unten):
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 14. Dezember 2005 mehr...


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