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Dienstag, 22. August 2017 18:47 
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Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus (Mathematik)
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Die binomischen Formeln sind nützliche Instrumente, welche in vielen Gebieten der Mathematik gewinnbringend eingesetzt werden können.

Dabei ist ein Binom (bi- kommt vom lat. bini = je zwei) eine Summe oder eine Differenz von je zwei Gliedern a und b, also entweder (a+b) oder (a-b). Die Qualitäten der binomischen Formeln erkennt man insbesondere bei der Lösung von Gleichungen und dem Vereinfachen von Brüchen und Wurzeltermen.

Im Folgenden PDF-Dokument werden nicht nur die binomischen Formeln und Ihre Anwendungen behandelt. Der Leser findet von der quadratischen Ergänzung hin zur Herleitung und dem Beweis der allgemeinen Lösungsformel einer quadratischen Gleichung viele interessante Aspekte rund ums Binom

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Die drei binomischen Formeln
  • Beispiele zur Anwendung
  • Verallgemeinerungen der binomischen Formeln
  • Der Binomialkoeffizient und der binomische Lehrsatz
  • Pascalsche Dreieck und der Binomialkoeffizient
  • Pascalsche Dreieck und der binomische Lehrsatz
  • Herleitung und Beweis der Lösung einer „vermischten“ quadratischen Gleichung

 

Geschrieben von Alexander am Samstag, 14. Januar 2006 mehr...

Das Paradigma 'Divide and Conquer' am Beispiel des Quicksort-Algorithmus (Informatik)
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Teile und herrsche (lateinisch: divide et impera) ist angeblich ein Ausspruch des französischen Königs Ludwigs XI.

'Teile und herrsche' steht für das Prinzip, die eigenen Gegner gegeneinander auszuspielen und deren Uneinigkeit zum eigenen Zwecke und Nutzen zu verwenden. Alles also nach dem Motto: Wenn zwei sich streiten freut sich der Dritte.

In der Informatik bezeichnet man eine bedeutende Problemlösungsstrategie mit dem englischen Analogon 'Divide and Conquer'. Auch hier wird (das gestellte Problem) geteilt und in gewisser Art und Weise anschließend (über das 'besiegte' Problem) geherrscht. Allerdings enden an dieser Stelle die Gemeinsamkeiten auch schon.

Das 'Divide and Conquer'-Prinzip versucht ein gestelltes Problem P der Größe n in zwei Teilprobleme P1 und P2 zu zerlegen (divide-Schritt). Diese Teilung führt man solange durch, bis die Problemlösung trivial, offensichtlich oder zumind. wesentlich vereinfacht wird. Die eigentliche Aufgabe besteht also letztlich darin, die Lösungen der Teilprobleme P1 und P2 zu einer -umfassenden- Lösung des Gesamtproblems zusammenzufassen (conquer-Schritt).

Ein Paradebeispiel für das Paradigma des 'Divide and Conquer' ist der im Durchschnitt schnellste Sortieralgorithmus überhaupt: Der Quicksort!

Das folgende Bild (Quelle: FH Flensburg) illustriert die Vorgehensweise eines Quicksorts angewendet auf eine (abbrechende) Folge aus dem Körper IF2={0,1}.
Im ersten Schritt wird die zu sortierende Folge a in zwei Teilfolgen b und c zerlegt, so dass alle Elemente der ersten Teilfolge b kleiner oder gleich allen Elementen der zweiten Teilfolge c sind (divide).

Geschrieben von Alexander am Dienstag, 10. Januar 2006 mehr...

Kasus - die vier Fälle in der hochdeutschen Sprache (Schrift und Sprache)
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Kasus, [der, Plural Kasus; lateinisch] ist in der Grammatik eine Flexionskategorie eines Nomens (=Deklination), es handelt sich also um einen Beugungsfall der Deklination. (Flexion ist ein Oberbegriff zu Deklination und Konjugation).
Er dient dazu anzuzeigen, in welcher Beziehung das Nomen (vereinfacht: das Substantiv, Hauptwort) zu anderen Wörtern im Satz steht.

Im Hochdeutschen zählt man vier Fälle:
  • 1. Fall: Der Nominativ, "Wer-Fall"
  • 2. Fall: Der Genitiv, "Wessen-Fall"
  • 3. Fall: Der Dativ, "Wem-Fall"
  • 4. Fall: Der Akkusativ, "Wen-Fall"
Geschrieben von Alexander am Montag, 02. Januar 2006 mehr...

Evolutionstheorie und die Religionen (Philosophie)
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Am Anfang schuf Gott Himmel und Erde. Und die Erde war wüst und leer, und es war finster auf der Tiefe; und der Geist Gottes schwebte auf dem Wasser.

Und Gott sprach:
Es werde Licht! Und es ward Licht. Und Gott sah, dass das Licht gut war. Da schied Gott das Licht von der Finsternis und nannte das Licht Tag und die Finsternis Nacht. Da ward aus Abend und Morgen der erste Tag.
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 28. Dezember 2005 mehr...

Einführung in die Theorie des (mathematischen) Testens (Mathematik)
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Die Testtheorie ist neben der Schätztheorie eine der bedeutensten Theorien, welche insbesondere in der Statistik Anwendung finden.

Die Testtheorie versucht aufgestellte Hypothesen zu bestätigen oder diese abzulehnen. Testverfahren basieren dabei stets auf (endliche) Stichprobenrealisationen, und unterliegen damit u.a. der Varianz der wahren Verteilung, und somit auch einer gewissen Fehleranfälligkeit.

Die folgenden Themen werden in dem vorliegenden Dokumente behandelt:

  • Einführung in die Theorie des Testens in Prosa
  • Testproblem
  • Hypothese (Nullhypothese) vs. Alternative (Alternativhypothese)
  • einfache und zusammengesetzte Testexperimente
  • Qualitätsansprüche an Tests (Fehler 1. und 2. Art)
Geschrieben von Alexander am Donnerstag, 22. Dezember 2005 mehr...


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