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Freitag, 09. Dezember 2016 06:40 


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Auf mathematik-netz.de / mathering.de finden Sie viele Artikel aus diversen Bereichen der Mathematik, Informatik und Philosophie. Dabei wurde insbesondere auf eine ausführliche und anschauliche Darstellung geachtet. Sollten Sie Fehler oder Unstimmigkeiten entdecken, so würde ich mich über eine Meldung freuen.

Genesis by John Robinson, Cambridge

Genesis von John Robinson, von mir aufgenommen vor dem Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences in Cambridge. (Hochauflösende Version.).



Ausgewählte Link-Tipps:

Multimedial Mathematik und Informatik lernen und das in sehr verständlicher Form - so prägnant könnte man das Projekt "Matheprisma" der Universität Wuppertal beschreiben. Eine der schönsten deutschsprachigen Matheseiten im Netz!

Literatur-Tipp (Belletristik):

Ein Auszug aus dem wunderbaren Roman "Der französiche Mathematiker" von Petesinis:

Im antiken Griechenland gab es keine Algebra. Noch zu Euklids Zeiten wurden sämtliche Probleme geometrisch gelöst. Das Studium wurde erst von Diophantos fest etabliert, der zu Recht der Vater der Algebra genannt wird und um 250 nach Christus in Alexandria lebte. Nur wenig ist über Diophantos festgehalten worden, bis auf seine vermutete Grabinschrift, mit der wir unser Studium der Algebra beginnen werden. Das Epitaph lautet:

Meine Kindheit dauerte ein Sechstel meines Lebens, mein Bart wuchs nach einem weiteren Zwöftel, und nach einem weiteren Siebtel heiratete ich. Fünf Jahre später wurde mein Sohn geboren, der halb so alt wurde wie ich. Ich starb vier Jahre nach dem Tod meines Sohnes.



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Dualraum eines Vektorraumes (Mathematik)
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Im Alltagsgebrauch versteht man unter dem Begriff der „Dualität“ oftmals eine „enge Beziehung zwischen zwei Objekten“. Innerhalb der Mathematik existieren verschiedene nicht äquivalente Dualitätsbegriffe z.B. in der Linearen Algebra, der Geometrie, der Matroidtheorie und der Logik. In diesem Skript werden wir die Dualität der Vektorräume studieren und veranschaulichen.

Einleitend dazu befassen wir uns in den Präliminarien mit grundlegenden Eigenschaften linearer Abbildungen, Homomorphismen und Darstellungmatrizen. Allerdings beschränken wir uns dabei auf das für unsere Zwecke Notwendige, weshalb wir Kentnisse über Vektorräume, Basen, lineare Abbildungen und Matrizen auch voraussetzen.

Im dritten und letzten Kapitel erklären wir, was wir unter einem Dualraum zu verstehen haben. Daneben zeigen wir erste Eigenschaften auf und veranschaulichen die Zusammenhänge mit ausführlich dargelegten Beispielen. Insbesondere der Zusammenhang eines Dualraumes zu Matrizen werden wir beleuchten und hervorheben. Z.B. werden wir die Konstruktion einer dualen Basis in einem Beispiel durchspielen. Abschließend untersuchen wir noch Bidualräume, um festzustellen, dass diese in natürlicher Weise mit dem Ausgangsvektorraum korrespondieren und daher oft mit diesen identifiziert werden.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Lineare Abbildungen, Vektorraum-Homomorphismus, Kern, Bild, Homomorphismenraum ist Vektorraum, Endomorphismenraum ist Ring, allgemeine lineare Gruppe
  • Lineare Abbildungen und Matrizen, Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bzw. zwischen Matrizen und linearen Abbildungen, Isomorphismus, Körperelemente, Beispiele, Darstellungssatz.
  • Dualraum ist Raum der linearen Abbildungen zwischen V und dem zu Grunde gelegtem Körper, Hom(V, K).
  • Endliches Beispiel eines Dualraumes über IF_2, Integral bzw. Differenzierung als lineare Funktionale
  • Duale Basen und duale Vektoren, Kroneckersymbol, Konstruktion einer dualen Basis, Bespiel, Isomorphismus.
  • Bidualraum: Definition und Isomorphismus.
Geschrieben von Alexander am Sonntag, 17. Juni 2012 mehr...

Die Sylowsätze und Gruppenoperationen
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Zur genauen Beschreibung einer endlichen Gruppe gehören insbesondere Aussagen über ihre Untergruppen, vor allem wird man nach Existenz und Eigenschaften von Untergruppen vorgegebener Ordnung fragen. Existiert eine Untergruppe H einer Gruppe G, so ist nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von H ein Teiler der Gruppenordnung G.

Sei G eine Gruppe von Ordnung n und sei T die Menge der positiven Teiler von n, dann existiert im Allgemeinen nicht für jedes t aus T eine Untergruppe H von G. Schränkt man jedoch die Voraussetzungen ein, so kann man in der Tat die Existenz gewisser Untergruppen mit entsprechender Ordnung nachweisen. Dies ist die Hauptaussage des ersten Sylowsatzes. Der zweite Sylowsatz gibt darüber Auskunft welche Struktur diese speziellen Untergruppen einnehmen (sie liegen alle auf einer Bahn bzw. sind Teilmenge von p-Sylow-Gruppen). Schließlich gibt der letzte und damit dritte Sylow-Satz Auskunft über die Anzahl von p-Sylow-Gruppen.

Um diese für die Gruppentheorie sehr bedeutenden Sylowsätze beweisen zu können, benötigt man Wissen zu so genannten Gruppenoperationen. Das ist quasi eine „Standpunktwechsel“ des Satzes von Cayley. Am Ende des bereitgestellten Dokuments werden wir uns noch zwei typische Anwendungsbeispiele der Sylowsätze näher betrachten.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Zusammenhang zwischen der Existens von Homomorphismen und Gruppenoperationen im Kontext des Satzes von Cayley
  • Linksmultiplikation, Linkstranslation, Verbindung zur Darstellungstheorie
  • Gruppenoperationen: Definition und Beispiele (triviale Operation, Linksmultiplikation, symmetrische Gruppe)
  • Bahn, Orbit, Stabilisator, Isotropie-Gruppe, Bahnengleichung, Beispiele und grundlegene Eigenschaften
  • Fixpunktsatz, Fixpunktmenge, Konjugation als Gruppenoperation, Eigenschaften, Zentralisator, Normalisator, abelsche Gruppen, Klassengleichung
  • Erster Satz von Sylow, Beweis, Beispiele, Satz von Cauchy
  • p-Gruppen, p-Sylow-Gruppen, Bahnen und p-Gruppen
  • Zweiter Sylowsatz, Bahnen und p-Sylow-Gruppen
  • Dritter Sylowsatz, Anzahl von p-Sylow-Gruppen, Teilereigenschaften
  • Anwendungen der Sylowsätze, z.B. jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch
Geschrieben von Alexander am Samstag, 25. Februar 2012 mehr...

Struktur eines Körpers - algebraische und tranzendente Körpererweiterungen (Mathematik)
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Körpererweiterungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Körpertheorie; diese ist wiederum der Algebra zugeordnet. Die klassische Aufgabe der Algebra ist es Gleichungen der Form anXn+an-1Xn-1 + ... + a1X1 + a0X0 = 0 zu lösen. Dies ist sicher eine recht konkrete und naheliegende Frage. Im Laufe einer jahrhundertelangen Entwicklung hat sich herausgestellt, dass dies eine überaus schwierige Aufgabe ist, und dass ein gewaltiger begrifflicher und theoretischer Aufwand notwendig ist, um sie einigermaßen zu beantworten.

Die Körpererweiterungen L:K stellen einen ersten großen Schritt in diese Richtung dar. Die Galois-Theorie löst das gestellte Problem in aller Allgemeinheit und die Körpererweiterungen bilden sozusagen eine Vorstufe zur Theorie von Evariste Galois.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Primringe und Primkörper, Abbildung zwischen Ringen (Ringhomomorphismus, Bild ist ein Unterring), (positive) Charakteristik, kleinste Unterring, kleinste Unterkörper, Existenz eines Monomorphismus, Kern, Form der Ideale im Ring der ganzen Zahlen Z, Integritätsbereich bzw. Integritätsring, Q und Fp sind bis auf Isomorphie die einzigen Primkörper
  • Körperhomomorphismus, Eindeutigkeit der neutralen Elemente (0,1) und der Inversen, jeder Körperhomomorphismus ist injektiv
  • Definition Erweiterungskörper, Körpererweiterung, Oberkörper, Unterkörper, Teilkörper, Zwischenkörper, L:K, L/K, L|K, Beispiele
  • System von Unterkörpern, Jede Körpererweiterung L:K (jeder Zwischenkörper) besitzt denselben Primkörper
  • Erweiterungskörper ist eine natürlicher Vektorraum, Basis, linear unabhängig, (Skalar-)Multiplikation, endliche Erweiterung, einfache Erweiterung, quadratische Erweiterung
  • Charakterisierung der Adjunktion, Adjunktion endlicher Mengen, einfache Körpererweiterung.
  • K[X]/(f(X)) bildet einen K-Vektorraum mit Dimension Grad(f)=n, Jeder Körper ist Vektorraum über seinem Primkörper
  • Gradsatz, Beweis, Folgerungen daraus, C:R hat keine echten Zwischenkörper
  • Adjunktion, kleinster Körper, einfache Körpererweiterung, primitives Element
  • Sätze über endliche Erweiterungen
  • Algebraische Zahl, Minimalpolynom p(X) von a: irreduzibel, algebraische Zahl, Grad, Teiler, Polynom kleinsten Grades, so dass p(a)=0, Einsetzungshomomorphismus, Substitutionshomomorphismus, Kern des Einsetzungshomomorphismus ist ein Hauptideal - dieses wird vom Minimalpolynom erzeugt,
  • Jede endliche Erweiterung ist algebraisch
  • Menge aller Einsetzungen, Bild des Einsetzungshomomorphismus = K[a], Isomorph zur Adjunktion mit a, also K[a]~K(a), wenn a algebraisch ist, K-Isomorphismus
  • Transzendente Körpererweiterrung, Vektorraum ist unendlich-dimensional, K[a] ist isomorph zum Polynomring K[T], Homomorphiesatz, unendlich viele Zwischenkörper
  • Menge aller algebraischen Zahlen eines Körpers K, algebraischer Abschluss, Beispiel, Körpereigenschaften
Geschrieben von Alexander am Freitag, 02. September 2011 mehr...

Einführung in die Wahrscheinlichkeits-Theorie (Mathematik)
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Die Wahrscheinlichkeits-Theorie (=: W-Theorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik, in der man die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse untersucht. Gemeinsam mit der Statistik bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik, wobei die W-Theorie das theoretische Fundament darstellt auf dem die Statistik ruht. Dabei erfährt die W-Theorie indirekt durch das Vordringen der Statistik in Bereiche wie der Technik, der Medizin, der Ökonomie oder der Psychologie immer mehr an Bedeutung. Direkte Anwendungen der W-Theorie können vor allem in der Physik (wie z.B. der Quanten-Mechanik) oder der reinen Mathematik gefunden werden; so basisert z.B. ein von P. Erdös eingeführtes Beweisverfahren, die sog. Probabilistische Methode, auf der W-Theorie. In dieser Arbeit werden wir maßtheoretische Grundlagen der W-Theorie herleiten, begründen und veranschaulichen. Kenntnisse aus der naiven Mengenlehre, Grundlegendes der Analysis (z.B. der Binomische Lehrsatz, Exponentialfunktion u.Ä.), ein gutes logisches Verständnis und das Interesse an der Materie sollten für eine erfolgreiche Bearbeitung dieses Dokumentes ausreichen. Das eingeschlagene Niveau wird dem einer Vorlesung an einer (deutschen) Universität entsprechen. Allerdings werden wir darüber hinaus versuchen das Verständnis mit Hilfe von Beispielen und erklärenden Kommentaren zu festigen. Im Einzelnen werden behandelt:

  • Grundlagen: Potenzmenge, Mengenfamlie, Partition, symmetrische Differenz, Gesetze von De Morgan, Limes superior, Limes inferior, obere Limes, untere Limes, isoton, antitone und monotone Kovnergenz, erweiterte reelle Zahlen, Urabbildung, Urbild, Faser.
  • Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Ausgang, (Elementar-)Ereignis, Komplementär-Ereignis, unmögliches und sicheres Ereignis, Ereignissystem, abgeschlossen gegenüber Mengenoperationen.
  • Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß), nichtnegativ, normiert, sigma-additiv, diskreter Wahrscheinlichkeits-Raum, Eigenschaften, Wahrscheinlichkeits-Funktion, Beispiele, induzierte W-Funktion, Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gleichverteilung, Laplaceschen W-Begriff.
  • Stetige Wahrscheinlichkeits-Räume, Maßproblem, Satz von Vitlali, Antinomie, Definition und Sätze zu (Mengen-)Halbringen, Ringen und Algebren.
  • sigma-Algebren und sigma-Ringe, Messraum, Spur, allg. W-Räume, Erzeugendensysteme, von einem Mengensystem erzeugte sigma-Algebra, Raum der n-dimensionalen Figuren, Borel-Mengen, Borelsche Sigma-Algebra bzw. Borel-Körper, Erzeugung der offenen, geschlossenen und kompakten Mengen, Inhalt, allg. Maß.
  • Fortsetzung und Eindeutigkeit von Maßen, 1. und 2. Fortsetzungssatz für W-Maße, sigma-endlich, Nullmenge, Borel-Lebesgue-Maß, Bewegungsinvarianz.
  • Zufallsvariablen und messbare Abbildungen, Eigenschaften, Urbild, Messbarkeits-Kriterium, Definition Zufallsvariable, Indikatorfunktion, charakterisitische Funktion, Bild und Bildmaß, Wahrscheinlichkeits-Verteilung.
Geschrieben von Alexander am Montag, 28. Juni 2010 mehr...

2008 - das Jahr der Mathematik (Mathematik)
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Zur Feier des Jahres der Mathematik erstellte die Arbeitsgruppe Mathematische Geometrieverarbeitung der Freien Universität Berlin diverse Bastelbögen zur Erstellung einer
Das Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper, schöne Artikel zu diesem Thema findet man auf dem Matheplaneten: Einige Informationen zu Minimalflächen findet man auch unter
Ferner wurden zwei Themen-Dossiers bereitgestellt:
Quelle: Webseite zum Jahr der Mathematik (http://www.jahr-der-mathematik.de).
Geschrieben von Alexander am Dienstag, 10. März 2009


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