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Mittwoch, 26. Juli 2017 16:44 
Faktorgruppen, Nebenklassen und Normalteiler
 
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 04. Oktober 2006

Faktorgruppen und Normalteiler sind unmittelbar mit dem so genannten Homomorphiesatz verbunden. So ist es auch nicht verwunderlich, dass sich bei der Konstruktion der Faktorgruppen der Homomorphiesatz in natürlicher Weise einfügt.

Ebenso ergibt sich ein weiterer grundlegender und bedeutender Satz - der Satz von Lagrange, der weitreichende Folgen nach sich zieht. Diese Folgerungen sind bspw. sehr nützlich um Gruppen zu klassifizieren.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Linksnebenklassen modulo H, Rechtsnebenklassen modulo H, Linkstranslation bzw. Linksmultiplikation, Rechtstranslation bzw. Rechtsmultiplikation. Äquivalenzrelation, Repräsentant bzw. Vertreter, Beispiele
  • Zwei Nebenklassen sind gleichmächtig, Nebenklassen (Äquivalenzklassen) sind entweder gleich oder disjunkt, disjunkte Vereinigung, Index einer Untergruppe H von G, Satz von Lagrange, Anzahl der Linksnebenklassen ist gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen
  • Folgerungen aus dem Satz von Lagrange: Ist G von Primzahlordnung, so hat G nur die trivialen Untergruppen G und {e}, Ordnung eines jeden Elements a aus G ist ein Teiler der Gruppenordnung, jede Gruppe mit Primzahlordnung ist zyklisch, ...
  • Im Allgemeinen entsprechen sich Rechtsnebenklassen und Linksnebenklassen nicht, Beispiel, Kriterium für die Gleichheit von Normalteilern, Definition Normalteiler, Charakterisierung von Normalteilern, jeder Kern eines Homomorphismus ist ein Normalteiler.
  • Definition Faktorgruppe G/S bzw. Quotientengruppe von G nach S, Zuordnung wohldefiniert, Beweis, kanonische Projektion
  • Homomorphiesatz für Gruppen, Beweis, Beispiel und Folgerung

Faktorgruppen und Normalteiler
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