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Dienstag, 25. April 2017 10:35 
Reihen und (absolute) Konvergenz
 
Geschrieben von Alexander am Freitag, 30. Dezember 2005

Verbindet man die Glieder einer Zahlenfolge an (n=1, 2, 3, ...) durch Pluszeichen, so entsteht eine unendliche Reihe:

a1+a2+a3 +... = ∑ an


In der Theorie der reellen und komplexen Zahlen ist aber nur das Rechnen mit endlichen Summen axiomatisch begründet. Man kann also nicht erwarten, dass man mit formal gebildeten Summen rechnen kann. Das wird klar an dem Beispiel

S=1-1+1-1+1-1+-...


Je nach Klammerung (Assoziativität!) kann man entweder S=0 oder S=1 erhalten, was offensichtlich zu einem Widerspruch führt. Dieses einfache Beispiel zeigt, dass man die Rechenregeln für endliche Summen nicht ohne weiteres auf formal gebildete unendliche Reihen übertragen darf.

Darüber hinaus ist insbesondere die Konvergenz von Reihen das zentrale Thema dieses Dokuments:



  • Reihe, als Folge ihrer Partialsummen
  • Geometrische, harmonische, Exponential-, Cosinus-, und Sinusreihe
  • Rechenregeln für konvergente Reihen
  • Konvergenzkriterien und Beispiele:
    Trivialkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium, Cauchykriteirum, Epsilon-n-Kriterium, Monotoniekriterium, Superemuskriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium
  • Absolute Konvergenz und Umordnung

Reihen, Konvergenz und Divergenz

Reihen und (absolute) Konvergenz

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