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Freitag, 24. März 2017 09:03 

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Lineare Algebra


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Dualraum eines Vektorraumes (Mathematik)
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Im Alltagsgebrauch versteht man unter dem Begriff der „Dualität“ oftmals eine „enge Beziehung zwischen zwei Objekten“. Innerhalb der Mathematik existieren verschiedene nicht äquivalente Dualitätsbegriffe z.B. in der Linearen Algebra, der Geometrie, der Matroidtheorie und der Logik. In diesem Skript werden wir die Dualität der Vektorräume studieren und veranschaulichen.

Einleitend dazu befassen wir uns in den Präliminarien mit grundlegenden Eigenschaften linearer Abbildungen, Homomorphismen und Darstellungmatrizen. Allerdings beschränken wir uns dabei auf das für unsere Zwecke Notwendige, weshalb wir Kentnisse über Vektorräume, Basen, lineare Abbildungen und Matrizen auch voraussetzen.

Im dritten und letzten Kapitel erklären wir, was wir unter einem Dualraum zu verstehen haben. Daneben zeigen wir erste Eigenschaften auf und veranschaulichen die Zusammenhänge mit ausführlich dargelegten Beispielen. Insbesondere der Zusammenhang eines Dualraumes zu Matrizen werden wir beleuchten und hervorheben. Z.B. werden wir die Konstruktion einer dualen Basis in einem Beispiel durchspielen. Abschließend untersuchen wir noch Bidualräume, um festzustellen, dass diese in natürlicher Weise mit dem Ausgangsvektorraum korrespondieren und daher oft mit diesen identifiziert werden.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Lineare Abbildungen, Vektorraum-Homomorphismus, Kern, Bild, Homomorphismenraum ist Vektorraum, Endomorphismenraum ist Ring, allgemeine lineare Gruppe
  • Lineare Abbildungen und Matrizen, Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bzw. zwischen Matrizen und linearen Abbildungen, Isomorphismus, Körperelemente, Beispiele, Darstellungssatz.
  • Dualraum ist Raum der linearen Abbildungen zwischen V und dem zu Grunde gelegtem Körper, Hom(V, K).
  • Endliches Beispiel eines Dualraumes über IF_2, Integral bzw. Differenzierung als lineare Funktionale
  • Duale Basen und duale Vektoren, Kroneckersymbol, Konstruktion einer dualen Basis, Bespiel, Isomorphismus.
  • Bidualraum: Definition und Isomorphismus.
Geschrieben von Alexander am Sonntag, 17. Juni 2012 mehr...

Der Faktorraum von V nach U resp. Quotientenraum V modulo U (Mathematik)
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Faktorräume von Vektorräumen werden überall in der Mathematik benötigt. Eingeführt werden sie dagegen oftmals in einer Vorlesung zur linearen Algebra, seltener im Rahmen einer Analysis-Vorlesung.

Ein Vektorraum und ein Unterraum wird zur Konstruktion eines Faktorraums benötigt.
Ob man damit elliptischen Funktionen definiert, einen Beweis über nilpotente Endomorphismen erbringt oder aber den Homomorphiesatz beweist - überall erweisen sich diese, zunächst scheinbar schwer zu begreifenden Räume, als überaus gewinnbringend.

Im folgenden Dokument werden Faktorräume prägnant dargestellt, dabei wurde insbesondere auf die Anschaulichkeit Wert gelegt, deshalb findet man auch viele Skizzen und Beispiele.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Nebenklassen und Repräsentanten, wohldefiniert
  • Unterraumkriterium, Untervektorraum, Beispiele
  • Kriterium für die Gleichheit von Nebenklassen, Äquivalenzrelation (Reflexivität, Transitivität, Symmetrie)
  • Basen von Faktorräumen, Faktorraum ist ein Vektorraum
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 19. April 2006 mehr...

Determinante - Teil A (Mathematik)
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Wenn man lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß-Algorithmus lösen möchte stößt man bei den Rechnungen unweigerlich auf Ausdrücke, die gesetzmäßig aus den Koeffizienten des Gleichungssystems gebildet werden, und die wir heute Determinanten der Koeffizientenmatrix nennen.

Die Suche nach einer Formel für Lösungen von linearen Gleichungssystemen ist auch der Ursprung der Theorie der Determinanten.

Folgende Themen werden u.a. behandelt:

  • Leibnitzformel
  • Permutation (Signatur, Fehlstand, ...)
  • Sarrus-Formel
  • Elementare Zeilen- Spaltenumformung
  • Invertierbarkeit
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 14. Dezember 2005 mehr...


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