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Freitag, 26. Mai 2017 15:15 
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Der edle Sokrates und die Vernunft (Philosophie)
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Sokrates Sokrates wurde um 470 v.Chr. als Sohn eines Steinmetzen und einer Hebamme in Athen geboren. Seine Heimatstadt hat er nur zur Teilnahme an Feldzügen, bei denen er sich durch Tapferkeit und die Fähigkeit Strapazen zu ertragen auszeichnete, verlassen. Seine äußere Erscheinung, nach einer erhaltenen Porträtbüste zu urteilen, entspricht weder dem herkömmlichen Bild eines Griechen noch dem eines Philosophen. Die kräftige gedrungene Gestalt, der breite Kopf, das runde Gesicht mit platter Nase, seine ganze Haltung deuten eher auf einen Handwerker hin, der er ja nach seiner Herkunft auch war.

Den von seinem Vater erlernten Beruf vernachlässigt er aber frühzeitig und ebenso seine Familie, um sich ganz der Lehrtätigkeit zu widmen, zu der er die Berufung fühlte und die in dieser Art vor ihm noch niemand ausgeübt hatte.

Sokrates war ein Witzbold und Straßenredner, Tag für Tag bewegte er sich, einfach, fast ärmlich gekleidet, auf den Straßen und Plätzen Athens. Meist folgte Ihm eine bunte Schar von Schülern, unter ihnen viele Jünglichnge aus den frührenden Familien der Stadt. Im Gegensatz zu den Sophisten lehrte er jedoch unentgeltlich. Die Lehrtätigkeit bestand ganz im Gespräch, in einem Art Frage-und-Antwort-Spiel, das auch unter dem Begriff Mäeutik bekannt ist. Dabei handelt es sich um eine Art „geistige Geburtshilfe“:

Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 08. März 2006 mehr...

Die Sophisten (Philosophie)
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Die Sophistik, von griechisch σοφιστής (sophistés) was soviel wie "Weisheitsbringer" bedeutet.

Im 6. und 5. Jahrhundert vor Christus erwachte das philosophische Denken nahezu gleichzeitig an verschiedensten Stellen des damaligen Griechenlands, welches sich zur philosophischen Weltansicht verdichtet.
Gleichsam in aller Jugendfrische treten uns die mannigfachsten Möglichkeiten einer natürlichen Welterklärung entgegen. Alle Richtungen der griechischen und abendländischen Philosophie haben hier ihre Wurzeln und ihre Vorgänger. Fast jedes Problem, das in der späteren Philosophie eine Rolle gespielt hat wurde bereits in dieser Zeit vorgedacht, wenn nicht sogar gelöst.



Seit der siegreichen Verteidigung der griechischen Freiheit in den Kriegen gegen die Perser (500-499 v.Chr.) entstand in Griechenland und vor allem in Athen, das nun zum geistigen und politischen Mittelpunkt wurde, Wohlstand und Reichtum, und damit stieg auch das Bedürfnis nach höherer Bildung. Die demokratische Verfassung erhob die Kunst der öffentlichen Rede zu wachsender Bedeutung. In den Volksversammlungen und vor Gericht hatte derjenige den Vorteil, der seine Sachen mit den besten Argumenten und in geschicktesten Form zu vertreten wußte. Wer Karriere machen wollte -wozu grundsätzlich jedem Bürger der Weg offenstand-, bedurfte einer gründlichen Ausbildung als Staatsmann und Redner.
Geschrieben von Alexander am Dienstag, 07. März 2006 mehr...

Die Möbius-Transformation (Mathematik)
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Die Möbius-Transformationen (auch gebrochen lineare Transformation genannt) bilden eine bestimmte Klasse von komplexen Funktionen. Genauer: Eine Möbius-Transformation ist eine rationale Funktion deren Zähler und Nennergrad maximal 1 ist. Ferner müssen die Koeffizienten dieser Funktion eine spezielle Voraussetzung erfüllen.

Man könnte fast meinen, dass diese Abbildung relativ langweilig erscheinen, doch bei genaueren Untersuchungen kann man feststellen, dass dies mitnichten so ist.
Im Gegenteil, durch diese Klasse von Funktionen kann man bspw. automorphe Funktionen definieren. Auch im Bereich der automorphen Formen spielen diese unscheinbaren Funktionen eine bedeutende Rolle.

In dem bereitgestellten PDF-Dokument werden insbesondere die algebraischen Zusammenhänge der Möbiustransformationen und der Menge der invertierbaren Matrizen GL(2,) (=general linear group) untersucht. Das Doppelverhältnis o.ä. behandeltn wir in diesem Dokument nicht.
Im Einzelnen werden untersucht:

  • Die Menge der Möbius-Transformationen bilden eine Gruppe.
    Inverse Möbius-Transformation, neutrales Element, Komposition bzw. Matrizenmultiplikation als Verknüpfung, Assoziativität
  • Stetigkeit gebrochen lineare Transformationen, erweiterte komplexe Ebene, Riemannsche Zahlenkugel, stetige Fortsetzung ins Unendliche
  • Möbius-Transformation dargestellt als Komposition von Elementartypen
  • Gruppenhomomorphismus, Kern, Normalteiler
  • Beispiele
Geschrieben von Alexander am Dienstag, 21. Februar 2006 mehr...

Rekursion in der praktischen Informatik (Informatik)
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Das Ziel dieses Artikels besteht darin, die Rekursion als praktisch verwertbare Methode der Programmierung zu untersuchen. Insbesondere werden Themen wie Primitiv-Rekursion o.ä. in diesem Artikel nicht behandelt - dies sei der theoretischen Informatik vorbehalten. In diesem Dokument wollen wir das Zeichen stets als die natürlichen Zahlen (inklusive der 0) verstehen.

Die Rekursion ist ein fundamentales Prinzip in der Mathematik und Informatik:
In der Mathematik spricht man von der rekursiven Definition einer Funktion, wenn diese „durch sich selbst definiert wird“. Eines der bekanntesten Beispiele der Mathematik ist die Fibonacci-Folge: Es sei f: eine Funktion (genauer eine Folge) definiert durch

  • f(0) := 1
  • f(1) := 1
  • f(n) := f(n-1) + f(n-2) [für n>1]
Es ist also f(2) = f(2-1) + f(2-2) = f(1) + f(0) = 2. Das (n+1)-te Folgenglied ergibt sich also stets durch Addition des n-ten und des (n-1)-ten Folgengliedes. Die ersten Folgenglieder sind also {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}.
Auch in der Mathematik ist das wesentliche der Rekursion die Möglichkeit, eine unendliche Menge von Objekten durch eine endliche Aussage zu definieren. Auf die gleiche Art kann eine unendliche Zahl von Berechnungen durch ein endilches rekursives Programm beschrieben werden, ohne dass das Programm explizit Schleifen enthält. Natürlich können nur endlich viele Berechnungen auf Rechenmaschinen durchgeführt werden, doch zumind. die Beschreibung ist in diesem Sinne vollständig.

Geschrieben von alexander am Montag, 13. Februar 2006 mehr...

Die Partialbruchzerlegung (Mathematik)
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Die Partialbruchzerlegung wird insbesondere in der Analysis und der Funktionentheorie benötigt.

Um die Theorie hinter der Partialbruchzerlegung nachvollziehen zu können, benötigt man Kenntnisse aus dem Bereich der Algebra. Die Irreduzibilität von Polynomen über dem reellen bzw. komplexen Körper ist dabei von besonderer Bedeutung. Ferner sind das Lemma von Bezout, sowie der euklidische Algorithmus für Polynome wichtige Werkzeuge für die Beweisführung.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • Algebraische Grundlagen:
    Polynom-Division mit Rest, euklidische Algorithmus, Bezout, Fundamentalsatz der Algebra, teilerfremde, normierte und konstante Polynome, reduzibel und irreduzibel, Zerlegung von Polynomen und Nullstellen von Polynomen
  • Definition Partialbruch
  • reeller Ansatz und komplexer Ansatz
  • Koeffizientenmethode, Einsetzungsmethode
Geschrieben von Alexander am Mittwoch, 18. Januar 2006 mehr...


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